11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，（2）矩形截面h?2b?400m,l?1m；（3）16号工字钢，l?2m d?25mm,l?1m；
Pl20d=25my(a)h=40zz(b)y题11-1图 y(c)
解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力：
（1）圆形截面，d?25mm,l?1m：Pcr?（2）矩形截面h?2b?400m,l?1m
?2EIl2??200?10??1229??0.025264N?37.8kN
当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为??1时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳
0.04?0.0220.04?0.022?2EI??200?10?12I?min(Iy,Iz)?Iy??N?52.7kN ，故：Pcr?2212l129（3）16号工字钢，l?2m 查表知：Iy?93.1cm4,Iz?1130cm4，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为??1时
4I?min(Iy,Iz)?Iy?93.1cm，故：Pcr??2EIl2??2?200?109?93.1?10?822N?459.4kN
11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载？已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。
解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的?P
?2E?2E?2?200?109?P?2??P???99.35
?P?P200?106（2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于?P可采用欧拉公式计算临界力。故
?xy???liz?0.7l?80.83l??P?99.35?l?1.229mm， 0.0312即l?1.229mm为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。
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11-6 某钢材的比例极限?P?230MPa，屈服极限?s?274MPa，弹性模量E=200GPa，?cr?331?1.09?。试求?P和?s，并绘制临界应力总图（0???150）。
解：（1）计算此钢材的判别柔度
?2E①将?P?230MPa代入欧拉公式??2可以计算此钢材细长压杆的判别柔度?P：
??2E?2?200?109?P???92.64 6?P230?10②由经验公式?cr?331?1.09?知：此钢材的a?331MPa,b?1.09MPa，将?s?274MPa代入中柔度杆的公式可以此钢材中柔度杆的判别柔度?s：
?s?a??s331?274??52.29 b1.09（2）绘制临界应力总图如图：
(MPa)σcr274230σcr=πEλ2287.7λ52.2992.64150
11-7 b=40mm,h=60mm的矩形截面压杆如图所示，在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定。材料为Q235钢，其弹性模量E?210GPa,比例极限σP=200MPa。试求（1）压杆的临界荷载Pcr，（2）若?nst??3，压杆所承受的最大轴向压力为多大？（3）从稳定性考虑b/h为何值时最佳？
y 2.4m y x z y P?Pcrh b z x P?Pcrz x
习题11-7图
解：（1）计算柔度：
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①当压杆在在平面内xoy内失稳，为z中性轴。
?xy??xy?liz?1?2.4?138.56 0.06012②当压杆在出平面内xoz内失稳，为y中性轴。
?xz??xz?liy?0.5?2.4?103.92
0.0412③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
??max(?xz,?xy)?138.56
④计算压杆能采用欧拉公式所对应的?P
?2E?2E?2?210?109?P?2??P???101.8
?P?P200?106⑤?P?101.8?138.56，故采用欧拉公式计算Pcr
?2EPcr??cr?A?2?A??2?(210?103?106)?138.562
?(0.060?0.040)N?259.10kN(2) 由压杆稳定条件求压杆所承受的最大轴向压力［P］若?nst??3，
nw?PcrP259.10??nw??P?cr??86.37kN Pn3?w?（3）求稳定性最佳的b/h
当压杆在不同方向的柔度相等时，才不会在某平面内先失稳。故
?xy?l1?2.4????xy?hiz?1?2.40.5?2.4b?12????0.5 ?hbh????xz?l?0.5?2.4?xz1212biy?12?
补充1 图示边长为a的正方形铰接结构，各杆的E、I、A均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P等于多少？若力改为相反方向，其值又应为多少？
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