2019-2020年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何第10讲立体几何中的向量方法教学案理(I)

[解] (1)证明:由题设可得△ABD≌△CBD,从而AD=CD. 又△ACD是直角三角形, 所以∠ADC=90°.

取AC的中点O,连接DO,BO, 则DO⊥AC,DO=AO.

又因为△ABC是正三角形,故BO⊥AC, 所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角. 在Rt△AOB中,BO+AO=AB,

又AB=BD,所以BO+DO=BO+AO=AB=BD, 故∠DOB=90°. 所以平面ACD⊥平面ABC.

(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直,

→→

以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向,|OA|为单位长度,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).

1

由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离

21

为D到平面ABC的距离的,

2即E为DB的中点,得E?0,

??31?,?, 22?

→→

故AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),

AE=?-1,

→?

?

31?,?. 22?

设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量, →??n·AD=0,

则?

→??n·AE=0,可取n=?1,

-x+z=0,??

即?31

-x+y+z=0,?22?

?

?3?,1?. 3?

→??m·AC=0,

设m是平面AEC的法向量,则?

→??m·AE=0,同理可取m=(0,-1,3), 则cos〈n,m〉=

n·m7

=. |n||m|7

7. 7

所以二面角D-AE-C的余弦值为2.(2017·全国Ⅰ卷)如图10-8,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

图10-8

(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值. [解] (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD. 因为AB∥CD,所以AB⊥PD. 又AP∩DP=P,所以AB⊥平面PAD.

因为AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为点F.

由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.

→→以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,|AB|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

由(1)及已知可得A?

2??22?2?????

,0,0?,P?0,0,?,B?,1,0?,C?-,1,0?,

2??2?2????2?

→?22?→

所以PC=?-,1,-?,CB=(2,0,0),

2??2→

PA=?

2?→?2

,0,-?,AB=(0,1,0).

2??2

设n=(x1,y1,z1)是平面PCB的一个法向量,则

→??n·PC=0,?

→??n·CB=0,

22?

?-x1+y1-z1=0,

2即?2

??2x1=0.

所以可取n=(0,-1,-2).

设m=(x2,y2,z2)是平面PAB的一个法向量,则 →??m·PA=0,

?

→??m·AB=0,

??2x2-2z2=0,

2即?2

??y2=0.

所以可取m=(1,0,1),则cos〈n,m〉=

3

. 3

n·m-23

==-.

|n||m|33×2

所以二面角A-PB-C的余弦值为-

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