因为OA?OC，所以sin?CFO?cos?FCO. 故由(1)知sin?CFO?MDMDr3680?3d???，所以r?. MFOF?OM680?d553因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， ?680?3d?d?80,??r?d?80,?5所以? 即?
680?3dr?(60?d)?80,???(60?d)?80.?5?解得10?d?35.
680?3d最大，即圆面积最大. 5所以当OM=10 m时，圆形保护区的面积最大. 故当d?10时，r?(1)的解法三：连结AC，由题意知tan?ACO?6，则由两角差的正切公式可得： 172，故BC?cos?ACB?AC?150 m. 3所以新桥BC的长度为150m. （江苏苏州 何睦） tan?ACB?tan(?BCO??ACO)?(2)的解法三：设BC与圆切于点N，连接MN，过点A作AH//BC交MN于点H.
设OM?a，则AM?60?a，由古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m， ?r?a?8043那么?，解得10?a?35. 由tan?AMH?tan?OCN?，可得MH?(60?a)，
r?(60?a)?8035?33由(1)的解法二可得AB?100，所以MN?100?(60?x)??x?136，
55故MN即圆的半径的最大值为130，当且仅当a?10时取得半径的最大值. 综上可知，当OM?10 m时，圆形保护区的面积最大. （江苏兴化 顾卫）
【考点】直线方程 (C)，直线与圆、圆与圆的位置关系 (B)，解三角形 (B)，建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.
19．解析：本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 满分16分.
(1) 因为对任意x?R，都有f??x??e?x?e???x??e?x?ex?f?x?， 所以f?x?是R上的偶函数.
(2) 解法一（官方解答）：由条件知mex?e?x?1?e?x?1在?0,???上恒成立. 令t?ex(x?0)，则t?1，所以m??t?11??对于任意t?1成立.
1t2?t?1t?1??1t?1??因为t?1?1?1?2t?1?t?1??111??， ?1?3，所以?13?t?1?t?1??1t?1当且仅当t?2，即x?ln2时等号成立. 1??因此实数m的取值范围是???,??.
3??解法二：考虑不等式两边同乘ex，则不等式转化为m[(ex)2?1]?1?(m?1)ex在(0,??)上恒成立.
令ex?t(t?1)，则问题可简化为：mt2?(1?m)t?m?1?0在t??1,???上恒成立. 构造函数g(t)?mt2?(1?m)t?m?1，由图象易得当m?0时不符合题意. ?m?1?1,?m?1?1,?1?2m?当m?0时，?2m或?解得m??.
3?g(m?1)?0.?g(1)?0.???2m1综上可知，实数m的取值范围为(??,?]. （江苏苏州 陈海锋）
311(3) 令函数g?x??ex?x?a??x3?3x?，则g??x??ex?x?3a?x2?1?.
ee1当x?1时，ex?x?0，x2?1?0，又a?0，故g??x??0，
e所以g?x?是?1,???上的单调增函数，
因此g?x?在?1,???上的最小值是g?1??e?e?1?2a.
3由于存在x0??1,???，使ex0?e?x0?a(?x0?3x0)?0成立，当且仅当最小值g?1??0，
e?e?1故e?e?2a?0，即a?.
2?1令函数h?x??x?(e?1)lnx?1，则h??x??1?e?1，令h??x??0，得x?e?1. x当x??0,e?1?时，h??x??0，故h?x?是?0,e?1?上的单调减函数. 当x??e?1,???时，h??x??0，故h?x?是?e?1,???上的单调增函数. 所以h?x?在?0,???上的最小值时h?e?1?.
注意到h?1??h?e??0，所以当x??1,e?1???0,e?1?时，h?e?1??h?x??h?1??0. 当x??e?1,e???e?1,???时，h?x??h?e??0，所以h?x??0对任意的x??1,e?成立. ?e?e?1?,e???1,e?时，h?a??0，即a?1??e?1?lna，从而ea?1?ae?1； ①当a???2?②当a?e时，ea?1?ae?1；
③当a??e,????(e?1,??)时，h?a??h?e??0，即a?1??e?1?lna，故ea?1?ae?1.
?e?e?1?,e?时，ea?1?ae?1，当a?e时，ea?1?ae?1，当a??e,???时，ea?1?ae?1. 综上所述，当a???2?(3)的民间思路：
难题分解1：如何根据条件求出参数a的取值范围？ 分解路径1：直接求函数的最值.
解：令g(x0)?f(x0)?a(?x03?3x0)，只要在x0?[1,??)上，g(x0)min?0即可. (ex0)2?1g'(x0)??3a(x02?1). 当x0?1时，g'(x0)?0； x0.e当x0?1时，x02?1?0，(ex0)2?1?0，则g'(x0)?0.
故在区间[1,??)上，g'(x0)?0，即函数g(x0)为[1,??)的增函数，
e?e?1则gmin(x0)?g(1)?e?e?2a?0，解得a?.（江苏苏州 何睦）
2?1分解路径2：参数分离可以吗？
3解：欲使条件满足，则x0???1,3，此时?x0?3x0?0，则a??f(x0)， 3?x0?3x0构造函数g(x0)?f(x0)，即求此函数在x0??3?1,3上的最小值. ?x0?3x0?32(ex0?e?x0)(?x0?3x0)?(ex0?e?xo)(?3x0?3). g?(x0)?3(?x0?3x0)2x0?x0x0?x0321,3因为x0??，e?e?0,?x?3x?0,e?e?0,?3x?3?0， 000?32则(ex0?e?x0)(?x0?3x0)?(ex0?e?x0)(?3x0?3)?0.
?则g?(x0)?0在x0???1,3上恒成立，故g(x0)min?e?e?1， ?g(1)?2e?e?1故a?（江苏苏州 何睦）
2难题分解2：如何根据求得的参数a的取值范围比较ea?1与ae?1的大小？ 分解路径1：（取对数）ea?1与ae?1均为正数，同取自然底数的对数，
即比较(a?1)lne与(e?1)lna的大小，即比较
1?lnelna与的大小. e?1a?11?lnxlnxx构造函数h(x)?， (x?1)，则h?(x)?(x?1)2x?111?x?lnx，m?(x)?2，从而m(x)在(1,??)上单调递减， xxlnx此时m(x)?m(1)?0，故h?(x)?0在(1,??)上恒成立，则h(x)?在(1,??)上单调递减.
x?1再设m(x)?1?e?e?1当?a?e时，ae?1?ea?1；当a?e时，ea?1?ae?1；
2当a?e时，ae?1?ea?1.（江苏苏州 何睦） 分解路径2：（变同底，构造函数比大小） 要比较ea?1与ae?1的大小，由于ae?1?e(e?1)lnaae?1，那么a?1?e[(e?1)lna?(a?1)]，
e故只要比较a?1与(e?1)lna的大小.
e?1?1. x当x?e?1时，h'(x)?0；当0?x?e?1时，h'(x)?0. 令h(x)?(e?1)lnx?(x?1)，那么h'(x)?所以在区间(0,e?1)上，h(x)为增函数；在区间(e?1,??)上，h(x)为减函数.
e?e?1又h(e)?0，h(1)?0，则h(e?1)?0，h()?0；
2e?e?1那么当?a?e时，h(a)?0，eh(a)?1，ae?1?ea?1；a?e
2当a?e时，h(a)?0，0?eh(a)?1，ae?1?ea?1.
e?e?1综上所述，当?a?e时，ae?1?ea?1；当a?e时，ea?1?ae?1；
2当时，ae?1?ea?1. （江苏苏州 王耀）
【考点】函数的基本性质 (B)，利用导数研究函数的单调性与极值 (B)，综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.
20．解析：本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力. 满分16分.
(1) 证明：由已知，当n?1时，an?1?Sn?1?Sn?2n?1?2n?2n，于是对任意的正整数n，总存在正整数m?n?1，使得Sn?2n?am，所以?an?是“H数列”.
(2) 解法一（官方解答）：由已知，得S2?2a1?d?2?d，因为?an?是“H数列”，所以存在正整 数m，使得S2?am，
即2?d?1??m?1?d，于是?m?2?d?1.
因为d?0，所以m?2?0，故m?1，从而d??1. 当d??1时，an?2?n，Sn?n?3?n?2是小于2的整数，n?Ν*.
n?3?n?2于是对任意的正整数n，总存在正整数m?2?Sn?2?所以?an?是“H数列”，因此d的值为?1.
，使得Sn?2?m?am，
n2?n解法二：由{an}是首项为1的等差数列，则am?1?(m?1)d，Sn?n?d，
2又数列是“H数列”，不妨取n?2时，存在满足条件的正整数m，
使得1?(m?1)d?2?d，即(m?2)d?1，
（i）当m?3时，此时d?0，不符合题意，应舍去； （ii）当m?2时，不存在满足条件的d；
（iii）当m?1时，d??1. 此时数列{an}的通项公式为an?2?n， 下面我们一起来验证{an}为“H数列”:
3n?n24?3n?n2an?2?n；Sn?，此时m?，容易验证m为正整数. （江苏苏州 何睦）
22n2?n解法三：由题意设am?1?(m?1)d；又等差数列{an}的前n项和Sn?n?d；
2n2?n由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn?am，1?(m?1)d?n?； d（*）
2那么m随着n的变化而变化，可设满足函数关系式m?f(n).
1又d?0，那么要使（*）对任意自然数n恒成立，则m?f(n)?n2?Bn?C；
2d?12dn2?Bd?1?代入得：nd?Bnd?(1?d?Cd)?n(1?)?d，即有?； 2222??1?d?Cd?0又当n?1时，m?n?1，即
13?B?C?1，由此可以解得B??,C?2,d??1. 22此时an?2?n. （江苏苏州 王耀）
解法四：?n?N,Sn?am，所以Sn?1?am?(n?2)，由题意得Sn?Sn?1，所以am?am?，即m?m?. 对于任意的n，存在m,m?使得an?am?am?，
即1?(n?1)d?1?(m?1)d?[1?(m??1)d]， 化简可得n?m?m??当d??1时，此时
1?1.（*） d1不是整数，此时（*）式不满足； d1当?1?d?0时，此时??1，而m?m??0，
d1所以n?m?m???1?3恒成立，不对?n?N恒成立，所以d??1. （江苏兴化 顾卫）
d解法五：由{an}是首项为1的等差数列，且数列{an}是“H数列”，
则S2?1?a2?a2，又d?0，所以S2?1?a2?a1?1，则a2?0，从而d?a2?a1??1，
123n2?3n?4此时an?2?n，Sn??n?n，由Sn?am得，m?为正整数，
222从而数列{an}是“H数列”.（江苏常州 封中华） (3) 解法一（官方解答）：设等差数列?an?的公差为d， 则an?a1??n?1?d?na1??n?1??d?a1?(n?Ν*). 令bn?na1,cn??n?1??d?a1?，则an?bn?cn(n?Ν*). 下证?bn?是“H数列”.
设?bn?的前n项和为Tn，则Tn?n?n?1?2a1?n?Ν*?， n?n?1?2于是对任意的正整数n，总存在正整数m?所以?bn?是“H数列”. 同理可证?cn?也是“H数列”.
，使得Tn?bm，
所以，对任意的等差数列?an?，总存在两个“H数列” ?bn?和?cn?，使得an?bn?cn(n?Ν*)成立. 解法二：由(2)的解答过程可知：等差数列?bn?中若则bn?b1?(n?1)d1?2b1?b1n. 同理等差数列?cn?中若
c1?1时，?cn?是“H数列”，cn?c1?(n?1)d2?c1n. d2b1??1时, ?bn?是“H数列”， d1任意的等差数列?an?，则可表示为an?An?B. 令?b1?c1?A，2b1?B，此时b1?BB，c1?A?.
22所以对任意的等差数列?an?，总存在两个等差“H数列”?bn?和?cn?， 使得an?bn?cn(n?N*)成立.
【考点】数列的概念 (A)、等差数列 (C)，探究能力及推理论证能力. 21．解析：本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.