2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—江苏卷

因为OA?OC,所以sin?CFO?cos?FCO. 故由(1)知sin?CFO?MDMDr3680?3d???,所以r?. MFOF?OM680?d553因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m, ?680?3d?d?80,??r?d?80,?5所以? 即?

680?3dr?(60?d)?80,???(60?d)?80.?5?解得10?d?35.

680?3d最大,即圆面积最大. 5所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大. 故当d?10时,r?(1)的解法三:连结AC,由题意知tan?ACO?6,则由两角差的正切公式可得: 172,故BC?cos?ACB?AC?150 m. 3所以新桥BC的长度为150m. (江苏苏州 何睦) tan?ACB?tan(?BCO??ACO)?(2)的解法三:设BC与圆切于点N,连接MN,过点A作AH//BC交MN于点H.

设OM?a,则AM?60?a,由古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m, ?r?a?8043那么?,解得10?a?35. 由tan?AMH?tan?OCN?,可得MH?(60?a),

r?(60?a)?8035?33由(1)的解法二可得AB?100,所以MN?100?(60?x)??x?136,

55故MN即圆的半径的最大值为130,当且仅当a?10时取得半径的最大值. 综上可知,当OM?10 m时,圆形保护区的面积最大. (江苏兴化 顾卫)

【考点】直线方程 (C),直线与圆、圆与圆的位置关系 (B),解三角形 (B),建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.

19.解析:本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 满分16分.

(1) 因为对任意x?R,都有f??x??e?x?e???x??e?x?ex?f?x?, 所以f?x?是R上的偶函数.

(2) 解法一(官方解答):由条件知mex?e?x?1?e?x?1在?0,???上恒成立. 令t?ex(x?0),则t?1,所以m??t?11??对于任意t?1成立.

1t2?t?1t?1??1t?1??因为t?1?1?1?2t?1?t?1??111??, ?1?3,所以?13?t?1?t?1??1t?1当且仅当t?2,即x?ln2时等号成立. 1??因此实数m的取值范围是???,??.

3??解法二:考虑不等式两边同乘ex,则不等式转化为m[(ex)2?1]?1?(m?1)ex在(0,??)上恒成立.

令ex?t(t?1),则问题可简化为:mt2?(1?m)t?m?1?0在t??1,???上恒成立. 构造函数g(t)?mt2?(1?m)t?m?1,由图象易得当m?0时不符合题意. ?m?1?1,?m?1?1,?1?2m?当m?0时,?2m或?解得m??.

3?g(m?1)?0.?g(1)?0.???2m1综上可知,实数m的取值范围为(??,?]. (江苏苏州 陈海锋)

311(3) 令函数g?x??ex?x?a??x3?3x?,则g??x??ex?x?3a?x2?1?.

ee1当x?1时,ex?x?0,x2?1?0,又a?0,故g??x??0,

e所以g?x?是?1,???上的单调增函数,

因此g?x?在?1,???上的最小值是g?1??e?e?1?2a.

3由于存在x0??1,???,使ex0?e?x0?a(?x0?3x0)?0成立,当且仅当最小值g?1??0,

e?e?1故e?e?2a?0,即a?.

2?1令函数h?x??x?(e?1)lnx?1,则h??x??1?e?1,令h??x??0,得x?e?1. x当x??0,e?1?时,h??x??0,故h?x?是?0,e?1?上的单调减函数. 当x??e?1,???时,h??x??0,故h?x?是?e?1,???上的单调增函数. 所以h?x?在?0,???上的最小值时h?e?1?.

注意到h?1??h?e??0,所以当x??1,e?1???0,e?1?时,h?e?1??h?x??h?1??0. 当x??e?1,e???e?1,???时,h?x??h?e??0,所以h?x??0对任意的x??1,e?成立. ?e?e?1?,e???1,e?时,h?a??0,即a?1??e?1?lna,从而ea?1?ae?1; ①当a???2?②当a?e时,ea?1?ae?1;

③当a??e,????(e?1,??)时,h?a??h?e??0,即a?1??e?1?lna,故ea?1?ae?1.

?e?e?1?,e?时,ea?1?ae?1,当a?e时,ea?1?ae?1,当a??e,???时,ea?1?ae?1. 综上所述,当a???2?(3)的民间思路:

难题分解1:如何根据条件求出参数a的取值范围? 分解路径1:直接求函数的最值.

解:令g(x0)?f(x0)?a(?x03?3x0),只要在x0?[1,??)上,g(x0)min?0即可. (ex0)2?1g'(x0)??3a(x02?1). 当x0?1时,g'(x0)?0; x0.e当x0?1时,x02?1?0,(ex0)2?1?0,则g'(x0)?0.

故在区间[1,??)上,g'(x0)?0,即函数g(x0)为[1,??)的增函数,

e?e?1则gmin(x0)?g(1)?e?e?2a?0,解得a?.(江苏苏州 何睦)

2?1分解路径2:参数分离可以吗?

3解:欲使条件满足,则x0???1,3,此时?x0?3x0?0,则a??f(x0), 3?x0?3x0构造函数g(x0)?f(x0),即求此函数在x0??3?1,3上的最小值. ?x0?3x0?32(ex0?e?x0)(?x0?3x0)?(ex0?e?xo)(?3x0?3). g?(x0)?3(?x0?3x0)2x0?x0x0?x0321,3因为x0??,e?e?0,?x?3x?0,e?e?0,?3x?3?0, 000?32则(ex0?e?x0)(?x0?3x0)?(ex0?e?x0)(?3x0?3)?0.

?则g?(x0)?0在x0???1,3上恒成立,故g(x0)min?e?e?1, ?g(1)?2e?e?1故a?(江苏苏州 何睦)

2难题分解2:如何根据求得的参数a的取值范围比较ea?1与ae?1的大小? 分解路径1:(取对数)ea?1与ae?1均为正数,同取自然底数的对数,

即比较(a?1)lne与(e?1)lna的大小,即比较

1?lnelna与的大小. e?1a?11?lnxlnxx构造函数h(x)?, (x?1),则h?(x)?(x?1)2x?111?x?lnx,m?(x)?2,从而m(x)在(1,??)上单调递减, xxlnx此时m(x)?m(1)?0,故h?(x)?0在(1,??)上恒成立,则h(x)?在(1,??)上单调递减.

x?1再设m(x)?1?e?e?1当?a?e时,ae?1?ea?1;当a?e时,ea?1?ae?1;

2当a?e时,ae?1?ea?1.(江苏苏州 何睦) 分解路径2:(变同底,构造函数比大小) 要比较ea?1与ae?1的大小,由于ae?1?e(e?1)lnaae?1,那么a?1?e[(e?1)lna?(a?1)],

e故只要比较a?1与(e?1)lna的大小.

e?1?1. x当x?e?1时,h'(x)?0;当0?x?e?1时,h'(x)?0. 令h(x)?(e?1)lnx?(x?1),那么h'(x)?所以在区间(0,e?1)上,h(x)为增函数;在区间(e?1,??)上,h(x)为减函数.

e?e?1又h(e)?0,h(1)?0,则h(e?1)?0,h()?0;

2e?e?1那么当?a?e时,h(a)?0,eh(a)?1,ae?1?ea?1;a?e

2当a?e时,h(a)?0,0?eh(a)?1,ae?1?ea?1.

e?e?1综上所述,当?a?e时,ae?1?ea?1;当a?e时,ea?1?ae?1;

2当时,ae?1?ea?1. (江苏苏州 王耀)

【考点】函数的基本性质 (B),利用导数研究函数的单调性与极值 (B),综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.

20.解析:本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力及推理论证能力. 满分16分.

(1) 证明:由已知,当n?1时,an?1?Sn?1?Sn?2n?1?2n?2n,于是对任意的正整数n,总存在正整数m?n?1,使得Sn?2n?am,所以?an?是“H数列”.

(2) 解法一(官方解答):由已知,得S2?2a1?d?2?d,因为?an?是“H数列”,所以存在正整 数m,使得S2?am,

即2?d?1??m?1?d,于是?m?2?d?1.

因为d?0,所以m?2?0,故m?1,从而d??1. 当d??1时,an?2?n,Sn?n?3?n?2是小于2的整数,n?Ν*.

n?3?n?2于是对任意的正整数n,总存在正整数m?2?Sn?2?所以?an?是“H数列”,因此d的值为?1.

,使得Sn?2?m?am,

n2?n解法二:由{an}是首项为1的等差数列,则am?1?(m?1)d,Sn?n?d,

2又数列是“H数列”,不妨取n?2时,存在满足条件的正整数m,

使得1?(m?1)d?2?d,即(m?2)d?1,

(i)当m?3时,此时d?0,不符合题意,应舍去; (ii)当m?2时,不存在满足条件的d;

(iii)当m?1时,d??1. 此时数列{an}的通项公式为an?2?n, 下面我们一起来验证{an}为“H数列”:

3n?n24?3n?n2an?2?n;Sn?,此时m?,容易验证m为正整数. (江苏苏州 何睦)

22n2?n解法三:由题意设am?1?(m?1)d;又等差数列{an}的前n项和Sn?n?d;

2n2?n由题意知对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn?am,1?(m?1)d?n?; d(*)

2那么m随着n的变化而变化,可设满足函数关系式m?f(n).

1又d?0,那么要使(*)对任意自然数n恒成立,则m?f(n)?n2?Bn?C;

2d?12dn2?Bd?1?代入得:nd?Bnd?(1?d?Cd)?n(1?)?d,即有?; 2222??1?d?Cd?0又当n?1时,m?n?1,即

13?B?C?1,由此可以解得B??,C?2,d??1. 22此时an?2?n. (江苏苏州 王耀)

解法四:?n?N,Sn?am,所以Sn?1?am?(n?2),由题意得Sn?Sn?1,所以am?am?,即m?m?. 对于任意的n,存在m,m?使得an?am?am?,

即1?(n?1)d?1?(m?1)d?[1?(m??1)d], 化简可得n?m?m??当d??1时,此时

1?1.(*) d1不是整数,此时(*)式不满足; d1当?1?d?0时,此时??1,而m?m??0,

d1所以n?m?m???1?3恒成立,不对?n?N恒成立,所以d??1. (江苏兴化 顾卫)

d解法五:由{an}是首项为1的等差数列,且数列{an}是“H数列”,

则S2?1?a2?a2,又d?0,所以S2?1?a2?a1?1,则a2?0,从而d?a2?a1??1,

123n2?3n?4此时an?2?n,Sn??n?n,由Sn?am得,m?为正整数,

222从而数列{an}是“H数列”.(江苏常州 封中华) (3) 解法一(官方解答):设等差数列?an?的公差为d, 则an?a1??n?1?d?na1??n?1??d?a1?(n?Ν*). 令bn?na1,cn??n?1??d?a1?,则an?bn?cn(n?Ν*). 下证?bn?是“H数列”.

设?bn?的前n项和为Tn,则Tn?n?n?1?2a1?n?Ν*?, n?n?1?2于是对任意的正整数n,总存在正整数m?所以?bn?是“H数列”. 同理可证?cn?也是“H数列”.

,使得Tn?bm,

所以,对任意的等差数列?an?,总存在两个“H数列” ?bn?和?cn?,使得an?bn?cn(n?Ν*)成立. 解法二:由(2)的解答过程可知:等差数列?bn?中若则bn?b1?(n?1)d1?2b1?b1n. 同理等差数列?cn?中若

c1?1时,?cn?是“H数列”,cn?c1?(n?1)d2?c1n. d2b1??1时, ?bn?是“H数列”, d1任意的等差数列?an?,则可表示为an?An?B. 令?b1?c1?A,2b1?B,此时b1?BB,c1?A?.

22所以对任意的等差数列?an?,总存在两个等差“H数列”?bn?和?cn?, 使得an?bn?cn(n?N*)成立.

【考点】数列的概念 (A)、等差数列 (C),探究能力及推理论证能力. 21.解析:本小题主要考查圆的基本性质,考查推理论证能力.

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