高三数学复习导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题基丛点练理

第三课时 利用导数证明不等式专题

【选题明细表】 知识点、方法 构造法证明不等式 等价转化法证明不等式 赋值法证明不等式 1.(2015高考福建卷)已知函数f(x)=ln x-.

题号 1,4 2 3 (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)证明:当x>1时,f(x)

(3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1). (1)解:f′(x)=-x+1=

,x∈(0,+∞),

由f′(x)>0,得

解得0

故f(x)的单调递增区间是(0,).

(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞), 则F′(x)=

.

当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0, 所以F(x)在[1,+∞)上单调递减,

故当x>1时,F(x)1时,f(x)1满足题意. 当k>1时,对于x>1,有f(x)

从而不存在x0>1满足题意.

当k<1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞), 则G′(x)=-x+1-k=

2

,

由G′(x)=0得,-x+(1-k)x+1=0, 解得x1=

<0,

x2=>1.

当x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故G(x)在[1,x2)内单调递增,从而当x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1),

综上,k的取值范围是(-∞,1).

2.(2015皖南八校联考)已知函数f(x)=xln x+mx(m∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2.

(1)求实数m的值; (2)设g(x)=

,讨论g(x)的单调性;

(3)已知m,n∈N且m>n>1,证明

*

>.

(1)解:因为f(x)=xln x+mx, 所以f′(x)=1+ln x+m.

由题意f′(1)= 1+ln 1+m=2,得m=1. (2)解:g(x)=

=

(x>0,x≠1),

所以g′(x)=.

设h(x)=x-1-ln x,h′(x)=1-.

当x>1时,h′(x)=1->0,h(x)是增函数, h(x)>h(1)=0, 所以g′(x)=

>0,

故g(x)在(1,+∞)上为增函数;

当0h(1)=0, 所以g′(x)=

>0,

故g(x)在(0,1)上为增函数;

所以g(x)在区间(0,1)和(1,+∞)上都是单调递增的. (3)证明:由已知可知要证

>,

即证->ln n-ln m,

即证ln m>ln n,

即证>,

即证g(m)>g(n),

*

又m>n>1(m,n∈N),由(2)知g(m)>g(n)成立, 所以

>.

3.(2016东北三省四市教研联合体模拟)已知函数f(x)=aln x-ax-3 (a≠0).

(1)讨论f(x)的单调性;

2222

(2)求证ln (2+1)+ln (3+1)+ln (4+1)+…+ln (n+1)<1+2ln n!(n≥2,n∈*

N)(n!=1×2×3×…×n). (1)解:f′(x)=

(x>0),

当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1,+∞); 当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(0,1]. (2)证明:令a=-1,此时f(x)=-ln x+x-3, 所以f(1)=- 2.

由(1)知f(x)= -ln x+x-3在(1,+∞)上单调递增, 所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1), 即-ln x+x-1>0,

所以ln x

*

因为n≥2,n∈N, 则有ln (+1)<<

2

=

2

-,

2

2

*

要证ln (2+1)+ln (3+1)+ln (4+1)+…+ln (n+1)<1+2ln n!(n≥2,n∈N),

*

只需证ln (+1)+ln (+1)+…+ln (+1)<1(n≥2,n∈N), ln (+1)+ln (+1)+…+ln (+1) <(1-)+(-)+…+(所以原不等式成立.

4.(2015山西省四校第三次联考)函数f(x)=

2

-)=1-<1,

,若曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线

ex-y+e=0垂直(其中e为自然对数的 底数).

(1)若f(x)在(m,m+1)上存在极值,求实数m的取值范围;

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