?2 ?2.55?V? 4—7 一只电容位移传感器如习题图4-7所示，由四块置于空气中的平行平板组成。板A、C和D是固定极板；板B是活动极板，其厚度为t，它与固定极板的间距为d。B、C和D极板的长度均为a，A板的长度为2a，各板宽度为b。忽略板C和D的间隙及各板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动x=±a/2时电容CAC和CAD的表达式(x=0时为对称位置)。
?R?R?10?10?2?10??2?10?10?2?10?2f446462R?R?2Rf?RfUif?C6?36?106?1.77?10?12
习题图4-7
解：参见习题图4-7知
CAC是CAB与CBC串联，CAD是CAB与CBD串联。 当动极板向左位移a/2时，完全与C极板相对（见题解4-7图），此时
CAB=CBC=ε0ab/d
则
CAC=CAB/2=CBC/2=ε0ab/2d； CAD=ε0ab/(2d+t)。
题解4-7图
同理，当动极板向右移a/2时，与上相仿（见题解4-7图），有
CAC =ε0ab/(2d+t)；CAD=ε0ab/2d
4—8 已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板面积S=a×a=(2?2)cm2，间隙d0=0.1mm。求：传感器的初始电容值；若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙d0，而另一侧间隙为d0+b(b=0.01mm)，此时传感器的电容值。 解：初始电容
当装配不平衡时（见题解4-8图(a)），可取其平均间隙计算（见题解4-8图(b)）
=0.1+0.01/2=0.105(mm)
则其电容为
8.85?10?12?2?2?10?4C??d0.105?10?3
d?(d0?b)bd?0?d0?228.85?10?12?2?2?10?4C0???d0d00.1?10?3?35.4?10?12(F)?35.4pF?S?0S?0S =33.7×10-12(F)=33.7pF
(a) (b)
(c)
题解4-8图 或利用积分法计算传感器的电容，（见题解4-8图(c)），在位置x处，取宽度为dx、长度为a的两个狭窄长条之间的微电容为
dC??0adxd0?bx/a所以，总电容为
C??dC???b?ln?1??d??00d?bx/ab00??8.85?10?12?(2?10?2)2?0.01??12?ln?1???33.8?10(F)?33.8pF?30.1?0.01?10?
Ca
?0adx??0a2 两种计算方法结果接近，但积分法更为严密。
4-14 习题图4-14(a)所示差动式同心圆筒柱形电容传感器，其可动内电极圆筒外经d=9.8mm，固定电极外圆筒内经D=10mm，初始平衡时，上、下电容器电极覆盖长度L1=L2=L0=2mm，电极间为空气介质。试求：
（1）初始状态时电容器C1、C2的值；
（2）当将其接入习题图4-14(b)所示差动变压器电桥电路，供桥电压E=10 V（交流），若传感器工作时可动电极筒最大位移?x= ?0.2mm，电桥输出电压的最大变化范围为多少？
(a) (b) 习题图4-14 解 （1）初始状态时 2??0L02???8.85?10?12?2?10?3C1?C2?C0??D10lnlnd9.8?12?5.51?10(F)?5.51pF （2）当动电极筒位移?x= +0.2mm（向上）时，L1=2+0.2=2.2mm，L2=2?0.2=1.8mm，则 2??0L12???8.85?10?12?2.2?10?3C1???6.06?10?12(F)?6.06pFD10lnlnd9.8 ?12?32???8.85?10?1.8?10C2??4.96?10?12(F)?4.96pF10ln9.8 U?EC1?C2106.06?4.96????0.5(V)2C1?C226.06?4.96差动变压器电桥输出为 同理，当动电极筒位移?x= ?0.2mm（向下）时，L1=2?0.2=1.8mm，L2=2+0.2=2.2mm，则 差动变压器电桥输出为 U?C1?4.96pF C2?6.06pF 因此，当传感器可动电极筒最大位移?x= ?0.2mm，电桥输出电压的最大变化范围为?0.5V。 第5章 压电式传感器
5—3 有一压电晶体，其面积为20mm2，厚度为10mm，当受到压力p=10MPa作用时，求产生的电荷量及输出电压： (1)零度X切的纵向石英晶体；
EC1?C2104.96?6.06?????0.5(V)2C1?C226.06?4.96 (2)利用纵向效应的BaTiO3。 解：由题意知，压电晶体受力为 F=pS=10×106×20×10-6=200(N) （1）0°X切割石英晶体，εr=4.5，d11=2.31×10?12C/N 等效电容 d =7.97×10?14 (F) 受力F产生电荷 Q=d11F=2.31×10?12×200=462×10?2(C)=462pC 输出电压 Q462?10?12Ua???5.796?103?V??14Ca7.97?10 Ca??0?rS8.85?10?12?4.5?20?10?6?10?10?3 （2）利用纵向效应的BaTiO3，εr=1900，d33=191×10?12C/N 等效电容 Ca??0?rSd =33.6×10-12(F)=33.6(pF) 受力F产生电荷 Q=d33F=191×10?12×200=38200×10?12 (C)=3.82×10?8C 输出电压 Q3.82?10?8Ua???1.137?103?V??12Ca33.6?10 8.85?10?12?1900?20?10?6?10?10?3 5—4 某压电晶体的电容为1000pF，kq=2.5C/cm，电缆电容CC=3000pF，示波器的输入阻抗为1MΩ和并联电容为50pF，求： (1)压电晶体的电压灵敏度足Ku； (2)测量系统的高频响应； (3)如系统允许的测量幅值误差为5％，可测最低频率是多少? (4)如频率为10Hz，允许误差为5％，用并联连接方式，电容值是多大? 解：（1） （2）高频（ω→∞）时，其响应 Ku?Kq/Ca?2.5C/cm?2.5?109V/cm1000pF kqUamd33Ku???FC?C?CCa?Cc?Ci maci 2.5C/cm8??6.17?10V/cm?12 ?1000?3000?50??10F （3）系统的谐振频率 ?n?1??1R?Ca?Cc?Ci?? K????1?247?rads?6?121?10?1000?3000?50??10 由 Uim?/?n?2Uam1???/?n? ，得 ?1??5%???/?n1???/?n?2 （取等号计算） ???n?2?0.9025?1???/?n?2? 解出 (ω/ωn)2=9.2564 ? ω/ωn=3.0424 ω=3.0424ωn=3.0424×247=751.5(rad/s) f=ω/2π=751.5/2π=119.6(Hz) （4）由上面知，当?≤5%时，ω/ωn=3.0424 当使用频率f=10Hz时，即ω=2πf=2π×10=20π(rad/s)时 ωn=ω/3.0424=20π/3.0424=20.65(rad/s) 又由ωn=1/RC，则 C=1/ωnR=1/(20.65×1×106)=4.84×10-8(F)=4.84?104pF 5—5 分析压电加速度传感器的频率响应特性。若测量电路为电压前量放大器C总=1000pF，R总=500MΩ；传感器固有频率f0=30kHz，阻尼比ζ=0.5，求幅值误差在2％以内的使用频率范围。 解：压电式加速度的上限截止频率由传感器本身的频率特性决定，根据题意 ??1?0.9025?0.9025???n?2?1???/????4?22nn42??/?n??1?2%2（取等号计算） 则 1+(ω/ωn)﹣2(ω/ωn) +4×0.5(ω/ωn)2=0.96 (ω/ωn)4 ﹣(ω/ωn)2 +0.04=0 解出 (ω/ωn)2 =0.042或(ω/ωn)2 =0.96（舍去） 所以 ω/ωn =0.205 或?0.205（舍去） ?=0.205?n 22?1???/????4?222??/?n?2?1/1.02