课时达标训练(二) 余 弦 定 理
[即时达标对点练]
题组1 利用余弦定理解三角形
1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( ) A.3 B.2 C.5 D．5 解析：选A 由余弦定理，得
c2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，
∴c＝3，故选A.
2．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( ) A.
ππππ B. C. D. 36412
解析：选B ∵a>b>c， ∴C为最小角，由余弦定理得
a2＋b2－c272＋（43）2－（13）23cos C＝＝＝，
2ab22×7×43
π
∴C＝. 6
3．已知在△ABC中，b＝ac且c＝2a，则cos B等于( ) 1322A. B. C. D. 4443解析：选B ∵b＝ac，c＝2a， ∴b＝2a，
2
2
2
2
a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23∴cos B＝＝＝. 2
2ac4a4
C5
4．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
25
A．42 B.30 C.29 D．25
C5
解析：选A ∵cos＝，
25
?3?222
在△ABC中，由余弦定理，得AB＝ AC＋BC－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×?－?
?5?
＝32，
∴AB＝42.
5．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b
1
＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
abb2321
解析：由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝.
sin Asin Ba772
由余弦定理a＝b＋c－2bccos A， 得7＝4＋c－4c×cos 60°，
即c－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)． 答案：
21
3 7
2
2
2
2
2
7
6．设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.求
9
a，c的值．
解：由余弦定理b＝a＋c－2accos B， 得b＝(a＋c)－2ac(1＋cos B)． 7
又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，
9所以ac＝9， 解得a＝3，c＝3.
7．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos＋cos A2＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝23，b＝2，求c的值． 解：(1)∵cos A＝2cos－1，
2∴2cos＝cos A＋1.
2又2cos＋cos A＝0，
2∴2cos A＋1＝0， 1
∴cos A＝－，
2∴A＝120°.
(2)由余弦定理知a＝b＋c－2bccos A ， 1
又a＝23，b＝2，cos A＝－，
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
AAAA?1?222
∴(23)＝2＋c－2×2×c×?－?，
?2?
2
化简，得c＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去)． 题组2 利用余弦定理判断三角形的形状
111
8．在△ABC中，三边上的高依次为，，，则△ABC为( )
13511A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．不存在这样的三角形
2
111
解析：选C 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，分别为a，b，
13511
c上的高．因为S△ABC＝a×＝b×＝c×，所以可设a＝13k，b＝5k，c＝11k(k>0)．由
余弦定理，得cos A＝形，故选C.
1
2113121152
2
111
k2
＋k－2×5k×11kk2
23
＝－<0，则，所以△ABC为钝角三角
110
c－b2A9．在△ABC中，sin＝(a, b, c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) 22cA．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 1－cos Ac－b2A解析：选B ∵sin＝＝， 222cbb2＋c2－a2
∴cos A＝＝，
c2bc化简，得a＋b＝c， ∴△ABC为直角三角形．
10．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A·sin B＝sin C，试判断△ABC的形状．
解：法一：(角化边) sin Cc由正弦定理得＝，
sin Bb由2cos A·sin B＝sin C， 得cos A＝
sin Cc＝. 2sin B2b2
2
2
又由余弦定理的推论得
c2＋b2－a2
cos A＝，
2bccc2＋b2－a2∴＝， 2b2bc即c＝b＋c－a，
2
2
2
2
3