[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科): 第8章 平面解析几何 第1

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第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.

(对应学生用书第110页)

[基础知识填充]

1.直线的倾斜角

(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角,叫作直线l的倾斜角,当直线l和x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°,180°). 2.直线的斜率

(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan_θ,倾斜角是90°的直线斜率不存在.

(2)过两点的直线的斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=

y2-y1

. x2-x1

3.直线方程的五种形式

名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程 适用范围 不含直线x=x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1x-x1= y2-y1x2-x1xy+=1 abAx+By+C=0, A+B≠0 22一般式 [知识拓展] 平面内所有直线都适用 1.直线恒过定点问题

在直线方程中,若x或y的系数含有字母参数,则直线恒过定点 如直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,可将方程化为

?2x+y-7=0?

m(2x+y-7)+x+y-4=0,令?

??x+y-4=0

,得?

?x=3???y=1

,即直线恒过定点(3,1).

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2.直线“陡”、“缓”与斜率k的关系

在平面直角坐标系中,直线越“陡”,|k|越大. 3.直线在x,y轴上的截距问题

当直线在x,y轴上的截距相等或互为相反数时,应分两种情况讨论:一是直线过原点;二是直线不过原点(待定系数法).

[基本能力自测]

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( )

(3)过定点P0(x0,y0)的直线都可用方程y-y0=k(x-x0)表示.( )

(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√

2.(教材改编)直线3x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为( ) A.30° C.150°

B [直线的斜率为k=tan α=3, 又因为0°≤α<180°,则α=60°.]

3.(2018·泉州模拟)已知直线l过圆x+(y-3)=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是( )

【导学号:00090264】

A.x+y-2=0 C.x+y-3=0

2

2

2

2

B.60° D.120°

B.x-y+2=0 D.x-y+3=0

D [圆x+(y-3)=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l:y-3=x-0,化简得x-y+3=0.] 4.直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a=________.

1或-2 [令x=0,则l在y轴上的截距为2+a;令y=0,得直线l在x轴上的截距为21+.

a2

依题意2+a=1+,解得a=1或a=-2.]

a5.(2017·西安模拟)过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________.

3

3x-2y=0或x-y+1=0 [当直线过原点时,方程为y=x,即3x-2y=0.

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当直线l不过原点时,设直线方程为-=1. 将P(2,3)代入方程,得a=-1, 所以直线l的方程为x-y+1=0.

综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.]

(对应学生用书第111页)

xyaa 直线的倾斜角和斜率 (1)直线x-ycos θ+1=0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________. (2)(2018·郑州模拟)若直线l过点P(-3,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是________.

1?π?π3π?? (1)?,? (2)?-5,-? [(1)当θ=kπ+(k∈Z)时,cos θ=0,直线为x+1

4?3?2?4?π

=0,其倾斜角为. 2

π

当θ≠kπ+(k∈Z)时,直线l的斜率为

2 tan α=

1

∈(-∞,-1]∪[1,+∞), cos θ

?ππ??π3π? 所以直线l的倾斜角的取值范围是?,?∪?,?.

4??42??2?π3π? 综上,α的取值范围是?,?.

4??4

-3-2

(2)因为P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0),则kPA=

-2--

=-5,

kPB=

0-23--1=-.

3

1?? 如图所示,当直线l与线段AB相交时,直线l的斜率的取值范围为?-5,-?.] 3??

[规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角,但斜率不一定都存在;直线倾斜角的范围是[0,π),斜率的取值范围是R.

(2)正切函数在[0,π)上不单调,借助图像或单位圆数形结合,确定倾斜角α的取值范围.

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