第二节 n阶行列式的定义
一、排列与逆序
（一）定义（排列）：由n个不同的元素1 , 2 , 3 , ? , n排成的任一有序数组，称为一个n级全排列，简称n级排列。
例如： 1 2 3 4是一个4级排列； 5 2 3 4 1是一个5级排列. n级排列的总数为n!个.
例如由1 , 2 , 3这三个数码可以排出3!=6个3级排列，它们是： 1 2 3 ，1 3 2 ，2 1 3 ，2 3 1 ，3 1 2 ，3 2 1 .
一般地，我们将一个n级排列记为i1 i2 ...in ，其中i1 是1 , 2 , ? , n中的某一个数，i2 是余下的n-1个数中的某一个数，?.
（二）定义（排列的逆序）：在一个n级排列i1 i2 ...in中，如果有某个较大的数it 排在较小的数is的前面，就称it与is构成了一个逆序。
例如在5级排列1 2 3 5 4中，较大的数5排在较小的数4之前，就称5与4为一个逆序。
一个n级排列i1 i2 ...in中逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为N(i1 i2 ...in)
由于5级排列1 2 3 5 4中，只有一个逆序，所以N（1 2 3 5 4）=1 求一个排列的逆序数的方法是：先求第一个元素i1的逆序数N1，再求第二个元素i2的逆序数N2，?，最后求第n-1个元素in-1的逆序数 ，将它们加起来即可。即有
（三） 奇、偶排列
奇排列：如果N(i1 i2 ...in)为奇数，则称i1 i2 ...in为奇排列； 偶排列：如果N(i1 i2 ...in)为偶数，则称i1 i2 ...in为偶排列. 规定：n级排列1 2 ? n为偶排列.
例1 计算N（3 2 1 4 5）和N（3 4 1 2 5） 解： N（3 2 1 4 5）=2+1=3 N（3 4 1 2 5）=2+2=4
可见，5级排列3 2 1 4 5是奇排列； 5级排列3 4 1 2 5是偶排列.
对换
（四）定义（对换）：在一个排列il ...is ...it ...in中，如果只将is与it的位置互换（其余均不动），得到另一个排列il ...it ...is ...in，这样的变换称为一次对换。
例如在排列3 2 1 4 5中，将2与4对换，得到新的排列3 4 1 2 5. 我们看到：奇排列3 2 1 4 5经对换2与4之后，变成了偶排列3 4 1 2 5. 反之，也可以说偶排列3 4 1 2 5经对换4与2之后，变成了奇排列3 2 1 4 5 定理 1.1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 证先证相邻对换的情形.
设排列a1??akabb1??bm,经对换a 与b ,得排列a1??akbab1??bm, 那么t(a1??akbab1??bm)?t(a1??akabb1??bm)?1 所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性. 再证一般对换的情形.
设排列 a1??akab1??bmbc1??cn?1?
?2?
经对换a 与b排列，得排列 a1??akbb1??bmac1??cn事实上，排列（1）经过2m + 1次相邻对换变为排列（2）. 根据相邻对换的情形及2m + 1是奇数，所以这两个排列的奇偶性相反.
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
n 阶行列式的定义 分析：
a11a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a33?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32
(i)每一项均是取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为
a1p1a2p2a3p3
(ii)符号为(?1)?(p1p2p3)
“+” 123 231 312 （偶排列） “-” 321 213 132 （奇排列） (iii)项数为 3！=6
a11a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a33?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32a21a31于是
??(?1)?(p1p2p3)a1p1a2p2a3p3
将其推广，有n 阶行列式定义 .
定理1.2 n个数码共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。 （五）n阶行列式的定义
定义（n阶行列式定义）：由排成n行n列的n2个元素
构成的记号
称为n阶行列式。它是n!项的代数和，每一项是取自不同行和列的n个元素的乘积，各项的符号是：当这一项中各元素的行指标按自然数顺序排列后，如果列指标排列为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号。 于是得到
（1）
记?det(aij)
其中记号为连加号（求和号），这里表示n!项的和，
称为行列式的一般项。
n阶行列式简记为 ，=det(aij).
注意： n阶行列式的定义有三个要点：