教材习题解答
第一章 集合及其运算
P8习题
3. 写出方程x2?2x?1?0的根所构成的集合。
解：x2?2x?1?0的根为x??1，故所求集合为{?1} 4.下列命题中哪些是真的，哪些为假
a)对每个集A，??A；b)对每个集A，??A； c)对每个集A，A?{A}；d)对每个集A，A?A； e)对每个集A，A?A；f)对每个集A，A?{A}； g)对每个集A，A?2A；h)对每个集A，A?2A； i)对每个集A，{A}?2A；j)对每个集A，{A}?2A； k)对每个集A，??2A；l)对每个集A，??2A； m)对每个集A，A?{A}；n)??{?}；
o){?}中没有任何元素；p)若A?B，则2A?2B
q)对任何集A，A?{x|x?A}；r)对任何集A，{x|x?A}?{y|y?A}；
{x|x?A}?{A|A?A}；s)对任何集A，y?A?y?{x|x?A}；t)对任何集A，
答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有n个集合A1,A2,?,An且A1?A2???An?A1，试证：
A1?A2???An
证明：由A1?A2?A4???An?A1，可得A1?A2且A2?A1，故A1?A2。 同理可得：A1?A3?A4???An 因此A1?A2?A3???An 6.设S?{?,{?}}，试求2S？
1
解：2S?{?,{?},{{?}},{?,{?}}}
7.设S恰有n个元素，证明2S有2n个元素。
证明：（1）当n＝0时，S??,2S?{?},2S?1?20，命题成立。
（2）假设当n?k(k?0,k?N)时命题成立，即2S?2k（S?k时）。那么对于?S1（S1?k?1），2S1中的元素可分为两类，一类为不包含S1中某一元素x的集合，另一类为包含x的集合。显然，这两类元素个数均为2k。因而2S1?2k?1，亦即命题在n?k?1时也成立。 由（1）、（2），可证得命题在n?N时均成立。
P16习题
1.设A、B是集合，证明:
(A\\B)?B?(A?B)\\B?B??
证：?当B??时，显然(A\\B)?B?(A?B)\\B，得证。
?假设B??，则必存在x?B，使得x?(A\\B)?B但x?(A?B)\\B，故
(A\\B)?B?(A?B)\\B与题设矛盾。所以假设不成立，故B??。
2.设A、B是集合，试证A???B?A?B
证：?显然。
?反证法：假设A??，则?x0?A，若x0?B，则x0?左，但x0?右，矛盾。若x0?B，则x0?左，但x0?右，矛盾。故假设不成立，即A??。 3. 设A，B，C是集合，证明：
(A?B)?C?A?(B?C)
证：(A?B)?C?[(A\\B)?(B\\A)]?C?[(A?BC)?(B?AC)]?C
?[(A?BC)?(B?AC)\\C]?(C\\((A?BC)?(B?AC)))?(A?B?C)?(B?A?C)?(C?((A?B)?(B?A)))CCCCCC
?(A?BC?CC)?(B?AC?CC)?(C?((AC?BC)?(A?B)))
2
?(A?BC?CC)?(AC?B?CC)?(AC?BC?C)?(A?B?C)
由上式可以看出此展开式与A、B、C的运算顺序无关，因此，
(A?B)?C?A?(B?C)
4.设A，B，C为集合，证明A\\(B?C)?(A\\B)\\C
证：因为A\\(B?C)?A?(B?C)C?A?BC?CC= (A?BC)\\C= (A\\B)\\C。 5.设A，B，C为集合，证明：
(A?B)\\C?(A\\C)?(B\\C)
证：(A?B)\\C?(A?B)?CC?(A?CC)?(B?CC)＝(A\\C)?(B\\C)。 6.设A，B，C为集合，证明：
(A?B)\\C?(A\\C)?(B\\C)
证明：(A?B)\\C?(A?B)?CC?A?B?CC?(A?CC)?(B?CC) =(A\\C)?(B\\C)
7.设A，B，C都是集合，若A?B?A?C且A?B?B?C，试证B=C。
证：证1： ?x?B，则
若x?A，则x?(A?B)。由于A?B?A?C，故x?(A?C)，即x?C；
若x?A，则x?(A?B)，由于A?B?A?C，故x?A?C。又x?A，只能有x?C。因此，?x?B，总有x?C，故B?C。
同理可证，C?B。 因此B?C。
证2： B?B?(A?B)?B?(A?C)?(B?A)?(B?C) ?(C?A)?(B?C)?C?(A?B)?C?(A?C)?C 8.设A，B，C为集合，试证：
(A\\B)\\C?(A\\B)\\(C\\B)
证：证Ⅰ?x?(A\\B)\\C，有x?A,x?B,x?C，因此，x?(A\\B)，x?(C\\B)。故x?(A\\B)\\(C\\B)，即(A\\B)\\C?(A\\B)\\(C\\B)。
3