§1．4 因动点产生的平行四边形问题
课前导学
我们先思考三个问题：
1．已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？
2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？
3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？
图1 图2 图3
如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D．
如图2，已知A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？
点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)．
如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等．
关系式xA＋xC＝xB＋xD和yA＋yC＝yB＋yD有时候用起来很方便． 我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合．
如图4，点A是抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的一个动点，AB⊥x轴于点B，线段AB交直线y＝x－1于点C，那么
点A的坐标可以表示为(x,－x2＋2x＋3)， 点C的坐标可以表示为(x, x－1)，
线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为 AB＝yA＝－x2＋2x＋3，
线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标
图4
表示为AC＝yA－yC＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2． 通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，
用点的坐标表示点到坐标轴的距离．
例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24题
如图1，抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、C(0,10)三点．设点E(x, y)是抛物线上3一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E(x, y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值；
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E运动，可以体验到，当点E运动到抛物线的顶点时，S最大．当点E运动到OB的垂直平分线上时，四边形OEBF恰好是正方形． 思路点拨
1．平行四边形OEBF的面积等于△OEB面积的2倍．
2．第（3）题探究正方形OEBF，先确定点E在OB的垂直平分线上，再验证EO＝EB． 图文解析
（1）因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(5, 0)两点，设y＝a(x－1)(x－5)．
10102)，得?5a．解得a?． 3332210所以抛物线的解析式为y?(x?1)(x?5)?x2?4x?．
333代入点C(0,（2）因为S＝S平行四边形OEBF＝2S△OBE＝OB·(－yE)
＝?5(x2?4x?2310101040． )＝?(x2?6x?5)＝?(x?3)2?3333所以当x＝3时，S取得最大值，最大值为
40．此时点E是抛物线的顶点（如3图2）．
（3）如果平行四边形OEBF是正方形，那么点E在OB的垂直平分线上，且EO＝EB．
当x＝时，y?(x?1)(x?5)???(?)??．此时E(,?)． 如图3，设EF与OB交于点D，恰好OB＝2DE．
所以△OEB是等腰直角三角形．所以平行四边形OEBF是正方形． 所以当平行四边形OEBF是正方形时，E(,?)、F(,)．
525255225223233252525252
图2 图3
考点伸展
既然第（3）题正方形OEBF是存在的，命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢？
如图4，如果平行四边形OEBF为矩形，那么∠OEB＝90°．
2?根据EH＝HO·HB，列方程??(x?1)(x?5)?x(5?x)． ??3??2
2或者由DE＝OB＝，根据DE2＝
5?2?25(x?)2???(x?1)(x?5)??．
24?3?2125225，列方程4这两个方程整理以后都是一元三次方程4x3－28x2＋53x－20＝0，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的．
512251如图3，x＝；如图4，x＝4；如图5，x＝，但此时点E在x轴上方了．
22事实上，这个方程可以因式分解，(x?4)(x?)(x?)?0．
这个方程我们也可以用待定系数法解：
设方程的三个根是、m、n，那么4x3－28x2＋53x－20＝4(x?)(x?m)(x?n)．
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