小学+初中+高中
第八节 正弦定理和余弦定理的应用
课时作业 A组——基础对点练
1．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A．50 m C．120 m
B．100 m D．150 m
解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，
BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000
＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
答案：A
2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔
B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° C．南偏东80°
B．北偏西10° D．南偏西80°
解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 答案：D
3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( ) A．502 m C．252 m
解析：由正弦定理得＝，
sin∠ACBsin B小学+初中+高中
B．503 m 252D． m
2
ABAC小学+初中+高中
250×2AC·sin∠ACB∴AB＝＝＝502，故A，B两点的距离为502 m.
sin B1
2答案：A
4．(2018·昆明市检测)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于( ) A．1 C.3
B．2 D．2 310
，cos∠BAC＝－110
110
.由余弦定理，得BC2
解析：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝
2
2
＝AC＋AB－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×5×2×(－)＝9，所以BC＝3，所以S△
32×211332S△ABC＝，所以BC边上的高h＝＝＝1，故选ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×2×5×
22BC3102A. 答案：A
5．(2018·西安模拟)游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、11
乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路
91，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于__________．
解析：依题意，设乙的速度为x m/s， 11
则甲的速度为x m/s，
9因为AB＝1 040，BC＝500，
AC1 040＋500所以＝，解得：AC＝1 260，
x11
x9
AB2＋AC2－BC2
在△ABC中由余弦定理可知cos∠BAC＝
2AB·AC1 040＋1 260－5008412＝＝＝，
2×1 040×1 2609113
2
2
2
小学+初中+高中
小学+初中+高中
所以sin∠BAC＝1－cos∠BAC＝5
答案：
13
2
?12?251－??＝. ?13?13
6．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得 ∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.
解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得
50DB＝，即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝
sin 30°sin 15°
3－＋θ
，即
252523－
＝
sin 45°cos θ
，得到cos θ
252(3－1)，又＝3－1. 答案：3－1
25252
＝sin 45°
7．已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛
A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉
私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ 5333??
?参考数据：sin 38°＝，sin 22°＝?
1414??
解析：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC＝AB＋AC－2AB·ACcos 120°， 所以BC＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得sin∠ABC＝3
5×
253＝＝，
714
所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
2
2
2
2
AC·sin∠BAC BC小学+初中+高中