加试模拟训练题（78）
1
O1与O2外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q，R分别为O1，
O2上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的
直线交于点I，IN垂直于O1O2，垂足为N，IN与QR交于点M。证
明：PM，RO1，QO2三条直线交于一点。
2.设函数f：N+→N+，满足条件f（1）=1，且对任意n∈N+都有
试求方程 （k）+f（l）=293，k＜l （*）
的所有解．
IRQMOO1NPO2 f- 1 -
3. 整数1到n排成一行，从2开始每隔一个整数就删去一个整数，到了端点就返回，将剩下的数反向地每隔一整数就删去一个整数，到了端点再返回，如此反复进行下去．例如，n＝5时，则依次删去2，4，3，5，最后剩下1．又如，n＝7时，则依次删去2，4，6，5，1，7，最后剩下3．那么，当n＝1997时，最后剩下的是什么数？
4. 证明：?n,k?N?,f?n,k??2n3k?4nk?10都不能分解成若干个连续正整数之积。
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加试模拟训练题（78）
1
O1与O2外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q，R分别为O1，
IO2上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的
直线交于点I，IN垂直于O1O2，垂足为N，IN与QR交于点M。证
明：PM，RO1，QO2三条直线交于一点。 MQ证 如图，设RO1与QO2交于点O，连MO，PO。 因为∠O1QM=∠O1NM=90°，所以Q，O1，N，M四点共圆，有∠QMI=∠QO1O2。 O1N而∠IQO2=90°=∠RQO1， 所以∠IQM=∠O2QO1，
故△QIM∽△QO2O1，得
ROPO2QO1O1O2 ?QMMI 同理可证
RO2O1O2QMQO1??。因此 ① MRRO2RMMIO1OQO1? ② ORRO2因为QO1∥RO2，所以有
由①，②得MO∥QO1。 又由于O1P=O1Q，PO2=RO2， 所以
O1OO1QO1P??， ORRO2PO2即OP∥RO2。从而MO∥QO1∥RO2∥OP，故M，O，P三点共线，所以PM，RO1，QO2三条直线相交于同一点。
2.设函数f：N+→N+，满足条件f（1）=1，且对任意n∈N+都有
试求方程 f（k）+f（l）=293，k＜l （*）
的所有解．
【题说】1995年中国数学奥林匹克（第十届数学冬令营）题2． 【解】由题设得3f（n）·（f（2n+1）-f（2n））=f（2n）＜6f（n） （1） 从而
0＜f（2n+1）-f（2n）＜2
即 f（2n+1）=f（2n）+1 （2）
将（2）代入（1），得 f（2n）=3f（n） （3）
将n表示成二进制数．设
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