保险精算第二版复习题与答案

保险精算(第二版)

第一章:利息的基本概念

练 习 题

1.已知a?t??at2?b,如果在0时投资100元,能在时刻5积累到180元,试确定在时刻5投资300元,在时刻8的积累值。

a(0)?b?1a(5)?25a?b?1.80.8 ,b?125300*100Qa(5)?300180300*100300*100?a(8)?(64a?b)?508180180?a?2.(1)假设A(t)=100+10t, 试确定i1,i3,i5。

i1?A(1)?A(0)A(3)?A(2)A(5)?A(4)?0.1,i3??0.0833,i5??0.0714

A(0)A(2)A(4)n(2)假设A?n??100??1.1?,试确定 i1,i3,i5 。

i1?A(1)?A(0)A(3)?A(2)A(5)?A(4)?0.1,i3??0.1,i5??0.1

A(0)A(2)A(4)3.已知投资500元,3年后得到120元的利息,试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5

年后的积累值。

500a(3)?500(1?3i1)?620?i1?0.08?800a(5)?800(1?5i1)?1120500a(3)?500(1?i2)3?620?i1?0.0743363?800a(5)?800(1?i3)5?1144.974.已知某笔投资在3年后的积累值为1000元,第1年的利率为 i1?10%,第2年的利率为i2?8%,第3年的利率为 i3?6%,求该笔投资的原始金额。

A(3)?1000?A(0)(1?i1)(1?i2)(1?i3)?A(0)?794.1

5.确定10000元在第3年年末的积累值:

(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

i(4)1210000a(3)?10000(1?)?11956.1841?? ()4?i?10000a(3)?10000?1??11750.081????4?346.设m>1,按从大到小的次序排列d?d(m)???i(m)?i。

7.如果?t?0.01t,求10 000元在第12年年末的积累值。、

?tdt10000a(12)?10000e?0?10000e0.72?20544.33

128.已知第1年的实际利率为10%,第2年的实际贴现率为8%,第3年的每季度计息的年名义利率为6%,第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%,求一常数实际利率,使它等价于这4年的投资利率。

i(4)4i(2)2(1?i)?(1?i1)(1?d2)(1?)(1?)42 ?1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625?1.333265858

4?1?i?0.745563369.基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累,基金B以利息强度?t?基金存入的款项相同,试确定两基金金额相等的下一时刻。

t积累,在时刻t (t=0),两笔6a1(t)??1.01?a2(t)?e?0??1.01?t12tt212?tdt?et212

12t?e,t?1.43284764310. 基金X中的投资以利息强度?t?0.01t?0.1(0≤t≤20), 基金Y中的投资以年实际利率i积累;现分别投资1元,则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等,求第3年年末基金Y的积累值。

a1(t)??1?i?a2(t)?e?0tt0.01t2?0.1t2?tdt?e??1?i??e200.01*202?0.1*202

?e4?1?i?3?1.822111. 某人1999年初借款3万元,按每年计息3次的年名义利率6%投资,到2004年末的积累值为( )万元。

A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21

i(3)3*53(1?)?3*1.0215?4.0376

312.甲向银行借款1万元,每年计息两次的名义利率为6%,甲第2年末还款4000元,则此次还款后所余本金部分为( )元。

A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987

i(2)2*2(1?)?1.034?1.1255

2第二章:年金

练习题

1.证明vn?vm?iam?an。

??1?vm1?vni?am?an??i(?)?vn?vm

ii2.某人购买一处住宅,价值16万元,首期付款额为A,余下的部分自下月起每月月初付1000元,共付

10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A。

1?v1201000a120?1000?79962.96(i?8.7%/12) i?160000?79962.96?80037.043. 已知a7?5.153 , a11?7.036, a18?9.180, 计算 i。

?1?a18?a7???a11

1?i???i?0.082994.某人从50岁时起,每年年初在银行存入5000元,共存10年,自60岁起,每年年初从银行提出一笔款作为生活费用,拟提取10年。年利率为10%,计算其每年生活费用。

7?1?&&&&5000a?x??a1010 1?i???x?12968.71235.年金A的给付情况是:1~10年,每年年末给付1000元;11~20年,每年年末给付2000元;21~30年,每年年末给付1000元。年金B在1~10年,每年给付额为K元;11~20年给付额为0;21~30年,每年年末给付K元,若A与B的现值相等,已知v101010?1,计算K。 220?1??1?A?1000a10?2000?a?1000?10??a101?i1?i?????1?B?Ka10?K??a10?1?i?A?B?K?1800 6. 化简a101?v?v20

?1020? ,并解释该式意义。

a10?1?v10?v20??a30

7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元,这5年中他每半年末在银行存入一笔款项,前5次存款每次为1000元,后5次存款每次为2000元,计算每年计息2次的年名义利率。

?1??1?1000a5?2000?a?17000?5???1?i??1?i?

?i?3.355% 8. 某期初付年金每次付款额为1元,共付20次,第k年的实际利率为

5101,计算V(2)。 8?kV(2)?1??1?111??L?1?i1(1?i1)(1?i2)(1?i1)L(1?i19)999??L101128

9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女,给付形式为永续年金,前两个孩子第1到n年每年末平分所领取的年金,n年后所有的年金只支付给第三个孩子,若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )

?1??1?n A. ?? B. 3n C. ?? D.3

?3??3?1n1n1an?vna?21?vn1?2vn ii1vn?3 11. 延期5年连续变化的年金共付款6年,在时刻t时的年付款率为?t?1?,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为( )

A.52 B.54 C.56 D.58

5|2a6??v(t)(t?1)2dt511111 ?t??dta(t)t?1te?0111?5|a6??(t?1)2dt?545t?1v(t)?

第三章:生命表基础

练习题

1.给出生存函数s?x??e?x22500,求:

(1)人在50岁~60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。

(4)50岁的人能活到70岁的概率。

P(50?X?60)?s?50??s(60)10q50?s?50??s(60)s(50)P(X?70)?s(70)s?70?s(50)

20p50? 2. 已知Pr[5<T(60)≤6]=0.1895,Pr[T(60)>5]=0.92094,求q60。

5|q60?s?65??s(66)s?65??0.1895,5p60??0.92094s(60)s(60)s?65??s(66)?0.2058s(65)

?q65? 3. 已知q80?0.07,d80?3129,求l81。

q80?d80l80?l81??0.07 l80l80 4. 设某群体的初始人数为3 000人,20年内的预期死亡人数为240人,第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。

s(20)?d1?L?d20d?L?d21d?L?d22?0.92,s(21)?1?0.915,s(22)?1?0.909

l0l0l0 5. 如果?x?22,0≤x≤100, 求l0=10 000时,在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数?x?1100?x为( )。

A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56

s(x)?e?0?x?xdx?e?0?x22?dxx?1100?x?100?x?????x?1?

2l0(s(1)?s(4))?2081.61 6. 已知20岁的生存人数为1 000人,21岁的生存人数为998人,22岁的生存人数为992人,则|q201为( )。

A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005

1|q20?l22?l21?0.006 l20第四章:人寿保险的精算现值

练 习 题

1. 设生存函数为s?x??1?x (0≤x≤100),年利率i=0.10,计算(保险金额为1元): 100

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