付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )
A. pxqxv2?b?e? B. pxqxv2?b?e? C. pxqxv2b2?e2 D. v2b2qx?e2px 解：
22????P(Z?bv)?qx,P(Z?ev)?pxP(Z2?b2v2)?qx,P(Z2?e2v2)?pxE(Z)?bvqx?evpxE(Z2)?b2v2qx?e2v2pxVar(Z)?E(Z2)??E(Z)??b2v2qx?e2v2px??bvqx?evpx??v2qxpx(b?e)222
第五章：年金的精算现值
练 习 题
1． 设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为f(t)?0.015?e算精算现值 ax 。
?0.015t(t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计
ax????1?vt0?fT(t)dt??2??01?e?0.05t0.015?e?0.015tdt?15.38 0.05（1）?；（2）ā???50。试求：
x 2．设 ax?10, ax?7.375, VaraT 。
??1??a?Axx??1?10??Ax2??221?2?a?A?x??1?14.75??Axx??1212?VaraT?2(Ax?(Ax))?50?2(2Ax?(Ax)2)
???????0.035???Ax?0.65?2?Ax?0.48375??
3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，
所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。
&&解：2000a23:36其中
&&2000a23:36&&?R37|a 23?R?&&37|a23&&a23:36l23?k135k??vkp23??v??vl23?kll23k?0k?0k?023kk3535 ? ?37|11111(l23?l24?l?l?L?l)2253263558l231.06(1.06)(1.06)(1.06)N23?N59D233737&&&&&&&&a23?a23?a23:37?v37p23a60?82k82k&&E23a60k?37
23?kl1 ??vkp23??v23?k?l23l23k?37k?37 ? ??vlk8211111(l60?l60?l?l?L?l105)6263l231.06(1.06)2(1.06)3(1.06)55N60D23查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。
（1） 终身生存年金。
(12)&&&&1000*12a35?12000[?(12)a35??(12)]
其中
d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)1??1?i?i?0.058410606??12???d(12)?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid12l35?k171k&&a??vl23?k35??vkp35??vll23k?0k?0k?035kk7171 ? ?11111(l35?l36?l?l?L?l) 23733870105l351.06(1.06)(1.06)(1.06)N35D35若查90-93年生命表换算表则
&&a35?N351985692??15.695458 D35126513.8
5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。
(12)(12)1&&解：250*12a55?250*12(a55?&&)?250*12[?(12)a??(12)?1] 551212其中
d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d(12)?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid12l35?k171k&&a??vl23?k55??vkp55??vll23k?0k?0k?035kk7171 ? ?
11111(l35?l36?l?l?L?l) 23733870105l351.06(1.06)(1.06)(1.06)N35D35
6． 在UDD假设下，试证：
&& (1) n|ax(m)(m)&&??(m)n|ax???m?nEx 。
&&&& (2) a??(m)a???m?(1?nEx) 。 x:nx:n&& （3）ax:n?a?x:n(m)(m)1(1?nEx) 。 m 7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；
(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
（1）解：1200a30?N31 D30(2)(2)1)?1000[?(2)a1] &&&&（2）1000a30?1000(a30?35??(2)?22其中
d?i?0.0566037741?i2?i(2)?(2)?1???1?i?i?0.0591260282???d(2)?(12)?1???1?d?d?0.057428276
2??id?(2)?(2)(2)?1.000212217idi?i(2)?(2)?(2)(2)?0.257390809id2&&a30?
N30 D30(4)(4)1)?1000[?(4)a1] &&&&（3）1000a30?1000(a30?30??(4)?44其中
d?i?0.0566037741?i4?i(4)?(4)?1???1?i?i?0.0586953854???d(4)?(4)1??1?d?d?0.057846554 ??4??id?(4)?(4)(4)?1.000265271idi?i(4)?(4)?(4)(4)?0.384238536id4&&a30?N30 D30(12)(12)1&&（4）1000a30?1000(a30?&&)?1000[?(12)a??(12)?1] 301212其中
d?i?0.0566037741?i(12)12?i?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid&&a30?N30 D30(12)12
8． 试证： (1) (2)
(m)&&a?x(m)&&a?x:n?i(m)ax ax:n 。
?i(m)&&?ax 。 (3) limaxm??(m)&& (4) ax?ax?1 。 2 9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金，缴付到64岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R。
&& 10． Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 ax?10，
2&&ax?6，i?1 ，求Y的方差。 24 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。
12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。 13. 给定
(4)(4)&&&&aA?0.1025，。已知在每一年龄年UDD假设成立， 则a?17.287x是（ ） x? A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82
14. 给定Var(aT)?100及??x?t??k, t?0, 利息强度??4k，则k=（ ） 9