全国2010年4月高等教育自学考试
复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.arg(-1+3i)=( ) A.-? 3B.
? 3?C.? 3?D.?+2nπ 32.w=|z|2在z=0( ) A.不连续 C.不可导
B.可导 D.解析
3.设z=x+iy，则下列函数为解析函数的是( ) A.f(z)=x2-y2+i2xy C.f(z)=x+i2y
4.设C为由z=-1到z=l的上半圆周|z|=1，则A.2πi C.1
5.设C为正向圆周|z|=1，则A.-πi C.πi
6.设C为正向圆周|z|=2，则
CB.f(z)=x-iy D.f(z)=2x+iy
?|z|dz=( )
B.0 D.2
?Cdz=( )
z(z?2)B.0 D.2πi
?eizz(z?i)3Cdz=( )
B.e-1 D.-πe-1i
A.0 C.2πi
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7.z=0是sinz的极点，其阶数为( )
z3A.1 B.2 C.3
D.4
8.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.sinz1z
B.z(z?1)2
1C.ez
D.
1ez?1
9.设f(z)的罗朗展开式为-21(z?1)2?z?1+(z-1)+2(z-l)2+…+n(z-1)n+…则Res[f(z),1]=( A.-2 B.-1 C.1
D.2
10.设z=a为解析函数f(z)的m阶零点，则函数f?(z)f(z)在z=a的留数为( ) A.-m B.-m+l C.m-1
D.m
二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.|z-i|=|z-1|的图形是_______________. 12.设z=ii，则Im z=_______________.
13.设C为由点z=-l-i到点z=l+i的直线段，则? z3Cdz=_______________.
14.设C是顶点为z=±12,z=±65i的菱形的正向边界，则
?e2Cz?idz=______________. 15.设C为正向圆周|z|=1，则?C zcos zdz=_________.
16.函数
1z?2在点z=4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分）
17.设z=x+iy,求复数z?1z?1的实部与虚部.（6分）
18.求复数i8-4i25+i的模.(6分)
19.求f(z)=(z-1)2ez在z=1的泰勒展开式.(6分)
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) 20.求f(z)=
2在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分)
(z?1)(z?2)21.求解方程cos z=2.（7分）
22.设z=x+iy,试证v(x,y)=x2+2xy-y2为调和函数，并求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y).(7分) 23.设C为正向圆周|z-2|=1,求
?ezz(z?2)2Cdz.(7分)
24.设C为正向圆周|z|=1，求
?1sindz.(7分) Cz四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，
共16分） 25.（1）指出f(z)=
z2(z2?1)(z2?4)在上半平面内的所有奇点及类型；
（2）计算f(z)在以上奇点的留数； （3）利用以上结果计算实积分
???x2(x2?1)(x2?4)??dx.
26.设D为Z平面上的扇形区域0 ?.试求下列保角映射： 3（1）w1=f1(z)把D映射为W1平面的上半平面Im w1>0; （2）w=f2(w1)把Im w1>0映射为W平面上的单位圆盘|w|<1，并且满足f2(2i)=0; （3）w=f(z)把Z平面上的区域D映射为W平面上的单位圆盘|w|<1. 27.用拉普拉斯变换解方程y(t)=sin t-2 t?y(?)cos(t??)d? 0浙02199# 复变函数与积分变换试卷 第 3 页 共 8 页 浙02199# 复变函数与积分变换试卷 第 4 页 共 8 页 浙02199# 复变函数与积分变换试卷 第 5 页 共 8 页