1．已知两个N点实序列x(n)和y(n)得DFT分别为X(k)和Y(k)，现在需要求出序列x(n)和y(n)，试用一次N点IFFT运算来实现。 解：依据题意 x(n)?X(k),y(n)?Y(k) 取序列 Z(k)?X(k)?jY(k) 对Z(k)作N点IFFT可得序列z(n)。 又根据DFT性质
IDFT[X(k)?jY(k)]?IDFT[X(k)?jIDFT[Y(k)]?x(n)?jy(n)由原题可知，
x(n),y(n)都是实序列。再根据z(n)?x(n)?jy(n)，可得
x(n)?Re[z(n)]
y(n)?Im[z(n)]2．已知长度为2N的实序列x(n)的DFTX(k)的各个数值(k?0,1,...,2N?1)，现在需要由X(k)计算x(n)，为了提高效率，请设计用一次N点IFFT来完成。
解：如果将x(n)按奇偶分为两组，即令
u(n)?x(2n)
n?0,1,...,N?1
v(n)?x(2n?1) 那么就有 X(k)?U(k)?W2kNV(k) k?0,1,...,N?1
X(k?N)?U(k)?W2kNV(k) 其中U(k)、V(k)分别是实序列u(n)、v(n)的N点DFT，U(k)、V(k)可以由上式解出：
U(k)?1?X(k)?X(k?N)? 2 k?0,1,...,N?1
1V(k)?W2?Nk?X(k)?X(k?N)?
2由于X(k)(k?0,1,...,2N?1)是已知的，因此可以将X(k)前后分半按上式那样组合起来，于是就得到了U(k)和V(k)。到此，就可以像4.9题那样来处理了，也即令
y(n)?u(n)?jv(n)
根据U(k)、V(k)，做一次N点IFFT运算，就可以同时得到u(n)和
v(n)(n?0,1,...,N?1)，它们分别是x(n)的偶数点和奇数点序列，于是序
列x(n)(n?0,1,...,2N?1)也就求出了。
五、 快速傅立叶变换应用
简答题： 1．
采用FFT算法，可用快速卷积完成线性卷积。现预计算线性卷
积x(n)?h(n)，试写采用快速卷积的计算步骤（注意说明点数）。 答：如果x(n)，h(n)的长度分别为N1,N2,那么用长度N?N1?N2??1的圆周卷积可计算线性卷积。用FFT运算来求x(n)?h(n)值（快速卷积）的步骤如下：
h(n)补零至长为N，（1） 对序列x(n)，使N?N1?N2??1，并且N?2M(M
为整数)，即
n?0,1,...N1?1?x(n)x(n)??
n?N1,N1?1,...N?1?0n?0,1,...,N2?1?h(n) h(n)??n?N2,N2?1,...,N?1?0（2） 用FFT计算x(n)，h(n)的离散傅立叶变换
x(n)?FFT???X(k) （N点） h(n)?FFT???H(k) （N点）
（3） 计算Y(k)?X(k)H(k)
（4） 用IFFT计算Y(k)的离散傅立叶变换得：
x(n)?h(n)?IFFT[Y(k)] （N点）
第五章 数字滤波器
一、数字滤波器结构
填空题：
1．FIR滤波器是否一定为线性相位系统？（ ）。 解：不一定
计算题：
2．设某FIR数字滤波器的冲激响应，h(0)?h(7)?1,h(1)?h(6)?3,
h(2)?h(5)?5,h(3)?h(4)?6，其他n值时h(n)?0。试求H(ej?)的幅频
响应和相频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。
1,3,5,6,6,5,3,1?,0?n?7 解： h(n)??H(e)??h(n)e?j?nj?n?0N?1
?1?3e?j??5e?j2??6e?j3??6e?j4??5e?j5??3e?j6??e?j7??e7?j?27755733711??j???j??j??j???j??j??j???j??j??j???j7?e2?e2??3e2?e2?e2??5e2?e2?e2??6e2?e2?e2?????????????????7?????3???5???7????j2???12cos???10cos???6cos???2cos??H(?)ej?(?) ??e?2??2??2??2???所以H(ej?)的幅频响应为
?????3???5???7????j2? H(?)??12cos???10cos???6cos???2cos???e?2??2??2??2???H(ej?)的相频响应为
7?(?)???
72
作图题：
3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为：
0.2871?0.4466z?1?2.1428?1.1455z?1H(z)???1?21?1.2971z?0.6949z1?1.0691z?1?0.3699z?2
1.8557?0.6303z?1??1?2 1?0.9972z?0.2570z
请采用并联型结构实现该系统。 解：答案略
4．用级联型结构和并联型结构实现一下传递函数
323z?3.5z?2.5z （1）H(z)?2(z?z?1)(z?0.5)4z3?2.8284z2?z（2）H(z)?2
(z?1.4142z?1)(z?0.7071)
3z3?3.5z2?2.5z3?3.5z?1?2.5z?2?解：（1）H(z)?2
(z?z?1)(z?0.5)(z?2?z?1?1)(1?0.5z?1)（5z?1?3)(0.5z?1?1)21?z?1??2???2?1?1?1(z?z?1)(1?0.5z)1?0.5zz?z?1?1?3?3.5z?2.5z1?1.5z?1?1.5z?2?0.5z?3?1?2
级联型结构及并联型结构图略
4z3?2.8284z2?z（2） H(z)?2
(z?1.4142z?1)(z?0.7071)4?2.8284z?1?z?2?(1?1.4142z?1?z?2)(1?0.7071z?1)?4.5857?0.4143z?0.5857?1?1.4142z?1?z?21?0.7071z?1?1
级联型结构及并联型结构图略 5．用横截型结构实现以下系统函数：
1?11?1?1?1H(z)?(1?z)(1?6z)(1?2z)(1?z)(1?z?1)26