?N?1N?11?ej?(k?m)?e?j?(k?m)?jN(k?m)?ej?(k?m)?e?j?(k?m)?jN(k?m)????e??e???j(k?m)j(k?m)?j(k?m)2?jN(k?m)?eNeN?eN?eN?1N?1??1?sin((k?m)?)?jN(k?m)?sin?(k?m)???jN(k?m)???e?e
?2?sin(k?m)??sin(k?m)NN???? ??????? = N, k=m或k=-m 2 0, 其它
13．已知一个有限长序列x(n)??(n)?2?(n?5) （1） 求它的10点离散傅里叶变换X(k)
2kX(k)，求序（2） 已知序列y(n)的10点离散傅立叶变换为Y(k)?W10列y(n)
（3） 已知序列m(n)的10点离散傅立叶变换为M(k)?X(k)Y(k)，求
序列m(n) 解；（1）X(k)??x(n)Wn?05k10N?1nkNnk????(n)?2?(n?5)?W10 n?02?5k109=1+2W=1+2e?j
=1+2(?1)k，k?0,1,...,9
2kX(k)可以知道，y(n)是x(n)向右循环移位2的结果，（2）由Y(k)?W10即
y(n)?x?(n?2)?10??(n?2)?2?(n?7)
（3）由M(k)?X(k)Y(k)可以知道，m(n)是x(n)与y(n)的10点循环卷积。
一种方法是先计算x(n)与y(n)的线性卷积
u(n)?x(n)?y(n)?l????x(l)y(n?l)
?=?0,0,1,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4? 然后由下式得到10点循环卷积
??? m(n)???u(n?10l)?R10(n)??0,0,5,0,0,0,0,4,0,0??5?(n?2)?4?(n?7)
?l????另一种方法是先计算y(n)的10点离散傅立叶变换
Y(k)??y(n)Wn?0N?1nkNnk2k7k?????n?2??2??n?7??W10?W10?2W10 n?09再计算乘积
5k2k7kM(k)?X(k)Y(k)?1?2W10W10?2W10 2k7k7k12k?2W10?2W10?4W10 ?W10 2k7k?4W10 ?5W10
????由上式得到 m(n)?5??n?2??4??n?7? 14．（1）已知序列：x(n)?sin??2??n?，0?n?N?1，求x(n)的N点DFT。 N??（2）已知序列：x(n)??j2?k9?1，n?0,1,20，其它，则x(n)的9点DFT是
X(k)?e???sin?k??3?，k?0,1,2,...,8 正确否？用演算来证明你的结论。???sin?k??9??P345?
2?解：（1）X(k)??sin???Nn?0N?12???jknn?eN ?2?2?2?jn?jn??jkn1N?1?NN?N??e?ee ???2jn?0??j(1?k)n?j(1?k)n?1N?1?NN?? ?e?e???2jn?0??2?2? ?j= jN,k?1 2N,k??1 20， 其它
6?k92?k9（2）X(k)??en?022??jkn9?1?e1?e?j?j?k?jk??j??e3?e3?e???? ?????jk?jk?jk?9e9??e9??e????jk3? e?j2?k9???sin?k??3?，K?0,1,...,8 ???sin?k??9?可见，题给答案是正确的。
15．一个8点序列x(n)的8点离散傅里叶变换X(k)如图5.29所示。在x(n)的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个16点序列y(n)，即
n? x??? ，n为偶数
?2?y(n)? ，n为奇数
（1）求y(n)的16点离散傅里叶变换Y(k)，并画出Y(k)的图形。
（2）设?N?X(k)的长度N为偶数，且有X(k)?X(N?1?k),k?0,1,...,2?1，求x??。
?2?0
N
X?k?4321-101234567
解：（1）因n为奇数时y(n)?0，故
Y(k)??y(n)Wn?015nk16??n?nkx??W16 2??n?0,2,...?14 ??x(m)W8mk， 0?k?15
m?07?7??x(m)W8mk,0?k?7另一方面 X(k)??m?0
?0,其它??7??x(m)W8m(k?8),8?k?15因此 X(k?8)??m?0
?0,其它??7??x(m)W8mk,0?k?15 ??m?0
?0,其它??7??x(m)W8mk,0?k?15所以 Y(k)??m?0
?0,其它?0?k?7?X(k),? ??X(k?8),8?k?15?0,其它?
按照上式可画出Y(k)的图形，如图5.34所示。
Y(k)
16．计算下列有限长序列x(n)的DFT，假设长度为N。
nx(n)?a （1） 0?n?N?1
1,2,?3,?1? （2）x(n)??解：（1）X(k)??aWnn?0N?1nkNk??aWNn?0N?1??n
k1?aWN ?k1?aWN3??N1?aN 0?k?N?1 ?k1?aWN(2) X(k)??x(n)W4nk
n?0
?W40?2W4k?3W42k?W43k?1?2W?3W?Wk4k23k4
?1?2(?j)k?3(?1)k?jk (0?k?3)
17．长度为8的有限长序列x(n)的8点DFT为X(k)，长度为16的一个新序列定义为 x() n?0,2,...14 y(n)?
15 0 n?1,3,...,n2试用X(k)来表示Y(k)?DFT?y(n)?。
nk解：Y(k)??y(n)W16
n?015