长序列y(n)
?n?ir,i?0,1,?,N?1?x(nr) y(n)??
n?ir,i?0,1,?,N?1?0?求：DFT[y(n)]与X(k)的关系。
?N?1lkx(l)WN?解：因为X(k)???l?0?0?rN?1 0?k?N?1
N?1Y(k)??y(n)Wn?0knrN?nknx()WrN 令n?l ?rrl?0,r,2r??l?0,r,2r??x(l)WN?1lkN0?k?rN?10?k?N?1N?k?2N?1X(k)??X(k?N)? ?? ??X[k?(r?1)N](r?1)N?k?rN?1?0其他???X(k?mN)m?0r?10?k?rN?116．已知x(n)是N点有限长序列，X(k)?DFT[x(n)]。现将长度变成rN点的有限长序列y(n)
0?n?N?1?x(n) y(n)??
0N?n?rN?1?试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。 解：由X(k)?DFT[x(n)]??x(n)en?0N?1?j2?nkN,0?k?N?1
可得
rN?1Y(k)?DFT[y(n)]?N?1n?0?j2?knNr?y(n)Wn?0nkrNnk??x(n)WrN n?0N?1??x(n)e?k??X??,k?lr,l?0,1,?,N?1 ?r? 所以在一个周期内，Y(k)的抽样点数是X(k)的r倍，相当于在X(k)的每两个值之间插入r?1个其他的数值（不一定为零），而当k为r的整
?k?Y(k)与X??相等。 数l倍时，
?r?17．已知x(n)是N点有限长序列，X(k)?DFT[x(n)]。现将x(n)的每两点之间补进r?1个零值点，得到一个rN点的有限长序列y(n)
?x(nr) y(n)??其他n?0n?ir,i?0,1,?,N?1
试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。
nk解：由X(k)?DFT[x(n)]??x(n)WN,0?k?N?1
n?0N?1可得
rN?1Y(k)?DFT[y(n)]???x(irr)Wi?0N?1irkrN?y(n)Wn?0N?1n?0nkrN
ik??x(i)WN,0?k?rN?1
而 Y(k)?X((k))NRrN(k)
所以Y(k)是将X(k)（周期为N）延拓r次形成的，即Y(k)周期为rN。 18．已知序列x(n)?4?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)??(n?3)和它的6点离散傅立叶变换X(k)。
（1）若有限长序列y(n)的6点离散傅立叶变换为Y(k)?W64kX(k)，求y(n)。
（2）若有限长序列u(n)的6点离散傅立叶变换为X(k)的实部，即
U(k)?Re?X(k)?，求u(n)。
（3）若有限长序列v(n)的3点离散傅立叶变换V(k)?X(2k)
(k?0,1,2)，求v(n)。
解：（1）由Y(k)?W64kX(k)知，y(n)是x(n)向右循环移位4的结果，即 y(n)?x((n?4))6
?4?(n?4)?3?(n?5)?2?(n)??(n?1) （2）5X(k)???4?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)??(n?3)?Wnk6
n?0 ?4?3Wk3k6?2W2k6?W6 X?(k)?4?3W?k6?2W?2k?3k6?W6
Re?X(k)??12?X(k)?X?(k)? ?1?4?3Wk6?2W2kk6?W36?4?3W?k6?2W?2k?3k26?W6? ?1?8?3Wk2k5k6?2W6?W3K6?3W6?2W4k6?W3k26?
?1?8?3Wkk26?2W2k6?2W36?2W4k6?3W5k6?
由上式得u(n)?4?(n)?32?(n?1)??(n?2)??(n?3)??(n?4)?32?(n?5)
（3）5X(2k)??x(n)W2nk6?n?0?525x(n)Wnk3?Wnk3?x(n)Wnk3
n?0?x(n)n?0?n?322??x(n)Wnk3?n?0?x(n?3)Wk(n?3)3n?0 2??x(n)Wnk3k3?W3
n?0?2x(n?3)Wnk3n?02?n??x(n)?x(n?3)?Wnk3,k?0,1,2?0 由于 2V(k)??v(n)Wnk3?X(2k)
n?02???x(n)?x(n?3)?Wnk3,k?0,1,2
n?0所以 v(n)?x(n)?x(n?3),n?0,1,2
到v(0)?x(0)?x(3)?5即 v(1)?x(1)?x(4)?3
v(2)?x(2)?x(5)?2或 v(n)?5?(n)?3?(n?1)?2?(n?2)
19．令X(k)表示N点的序列x(n)的N点离散傅里叶变换，X(k)本身也是一个N点的序列。如果计算X(k)的离散傅里叶变换得到一序列
x1(n)，试用x(n)求x1(n)。
解
x1(n)??X(k)Wk?0N?1nkNN?1N?1?kn??nkk(n?n?) ????x(n?)WN?WN??x(n?)?WNk?0?n??0n??0k?0?N?1N?1因为
?Wk?0N?1k(n?n?)Nn?n??Nl?N?? 0其他?所以
x1(n)??Nx(?n?Nl)?Nx((?n))NRN(n)
n?N?120．为了说明循环卷积计算（用DFT算法），分别计算两矩形序列
x(n)?RN(n)的卷积，如果x(n)?R6(n)，求
（1）两个长度为6点的6点循环卷积。 （2）两个长度为6点的12点循环卷积。 【解】这是循环卷积的另一个例子。令 x1[n]?x2[n]???10?n?L?1
0其他?图3-6中L?6，N定义为DFT长度。若N?L，则N点DFT为 X1(k)?X2(k)??WNkn??n?0N?1?N?0k?0其他
1x1[n]Nn(a)
如果我们将X1[k]和X2[k]直接相乘，得
?N2 X3(k)?X1[k]X2(k)???0k?0 其他由此可得 x3[n]?N 0?n?N?1
这个结果绘在图3-6中。显然，由于序列x2?((n?m))N?是对于x1[m]旋转，则乘积x1[m]x2?((n?m))N?的和始终等于N。
当然也可以把x1[n]和x2[n]看作是2L点循环卷积，只要给他们增补L个零即可。若我们计算增长序列的2L点循环卷积，就得到图3-7所示序列。可以看出它等于有限长序列x1[n]和x2[n]的线性卷积。注意如图3-7所，N?2L时
Lk1?WN X1[k]?X2[k]? k1?WN所以图3-7（e）中矩形序列x3[n]的DFT为（N?2L）
?1?WNLk X3[k]???1?WkN???? ?2循环卷积的性质可以表示为
DFT??X1[k]X2[k] x1[n]?x2[n]??考虑到DFT关系的对偶性，自然两个N点序列乘积的DFT等于他们对英的离散傅里叶变换的循环卷积。具体地说，若x3[n]?x1[n]x2[n]，则
1 X3[k]?N?X[l]X?((k?l))?
12Nl?0N?1