数字信号处理习题集(附答案)

??am?0?n?mNu(n?mN)?anmNa? 0?n?N?1 m?0? ?1naRN(n) N1?a9.研究一个长度为M点的有限长序列x(n)。

?x(n),0?n?M?1 x(n)??

0,其他n?M?1我们希望计算求z变换X(z)?j2?kN?x(n)zn?0?n在单位圆上N个等间隔点上

的抽样,即在z?e,k?0,1,?N?1上的抽样。当N?M时,试

找出只用一个N点DFT就能计算X(z)的N个抽样的方法,并证明之。 解:若N?M,可将x(n)补零到N点,即 x0(n)???则 X(ejx(n),0?n?M?1?0,M?n?N?12?kN

,0?k?N?1

)??x0(n)en?0N?1?j2?nkN1,0,1,1,0,1?的Z变换X(z)在单位圆上进行5等份10.对有限长序列x(n)??取样,得到取样值X(k),即X(k)?X(z)求X(k)的逆傅里叶变换x1(n)。 解:

X(z)??x(n)z?n?1?z?2?z?3?z?5n?05z?W5?k,k?0,1,2,3,4

X(k)?X(z)z?W?k5?1?W52?W53?W55?2?W52?W53

??x1(n)W5knn?04

x1(n)??2,0,1,1,0?

11.设如图所示的序列x(n)的Z变换为X(z),对X(z)在单位圆上等间隔的4点上取样得到X(k),即X(k)?X(z)z?e2?k4j,k?0,1,2,3

试求X(k)的4点离散傅里叶逆变换x1(n),并画出x1(n)的图形。?P379?

x?n?1-2-101234567

解:因为对X(z)在单位圆上等间隔的4点上取样,将使x(n)以4为周期进行周期延拓,所以x1(n)?形,如下图所示。

x1?n?21r????x((n?4r)),根据上式可画出x(n)的图

1?-2-101234567n

四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题

简答题:

1.理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法? 解:答案略

2.补零和增加信号长度对谱分析有何影响?是否都可以提高频谱分

辨率?

解:时域补零和增加信号长度,可以使频谱谱线加密,但不能提高频谱分辨率。

3.试说明连续傅里叶变换X(f)采样点的幅值和离散傅里叶变换X(k)幅值存在什么关系? 解:两个幅值一样。

4.解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因,如何克服或减弱? 解:如果采样频率过低,再DFT计算中再频域出现混迭线性,形成频谱失真;需提高采样频率来克服或减弱这种失真。

泄漏是由于加有限窗引起,克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。

计算题:

5.用某台FFT仪做谱分析。使用该仪器时,选用的抽样点数N必须是2的整数次幂。已知待分析的信号中,上限频率?1025kHz。要求谱分辨率?5Hz。试确定下列参数:1.一个记录中的最少抽样点数;2.相邻样点间的最大时间间隔;3.信号的最小记录时间。 解:因为待分析的信号中上限频率fm?1.25kHz 所以抽样频率应满足:fs?2fm?2.5kHz 因为要求谱分辨率

fs2.5?1000?5kHz,所以N??500 N5因为选用的抽样点数N必须是2的整数次幂,所以一个记录中的最少抽样点数N?512

相邻样点间的最大时间间隔T?1fsmin?11?ms?0.4ms 2fs2.5信号的最小记录时间Tpmin?N?T?512?0.4ms?204.8ms

6.(1)模拟数据以10.24千赫速率取样,且计算了1024个取样的离散

傅里叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。

(2)以上数字数据经处理以后又进行了离散傅里叶反变换,求离

散傅里叶反变换后抽样点的间隔为多少?整个1024点的时宽为多少?

解:(1)频率间隔?F?10240?10(赫) 1024(2)抽样点的间隔?T?1?97.66?s 10.24 整个1024点的时宽T=97.66?1024=100ms

7.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样,计算了512个抽样的DFT,试确定频谱抽样之间的频率间隔,并证明你的回答。

?s?,F0?02?2?得 fs??s

F0?0证明:由 fs?

其中?s是以角频率为变量的频谱的周期,?0是频谱抽样之间的频谱间隔。 又

fs?s??N F0?0则 F0?fs N对于本题有 fs?8kHz,N?512

所以 F0?8000?15.625Hz 5128.设有一谱分析用的信号处理器,抽样点数必须为2的整数幂,假定没有采用任何特殊数据处理措施,要求频率分辨力?10Hz,如果采用的抽样时间间隔为0.1ms,试确定:(1)最小记录长度;(2)所允许处理的信号的最高频率;(3)在一个记录中的最少点数。 解:

(1) 因为T0?1,而F0?10Hz,所以 F0 T0?即最小记录长度为0.1s

1s 1011?103?10kHz,而 (2) 因为fs??T0.1 fs?2fh 所以 fh?1fs?5kHz 2即允许处理的信号最高频率为5kHz。 (3)N?T00.1??103?1000,又因N 必须为2的整数幂,所以一个T0.1记录中的最少点数为N?210?1024。

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