??am?0?n?mNu(n?mN)?anmNa? 0?n?N?1 m?0? ?1naRN(n) N1?a9．研究一个长度为M点的有限长序列x(n)。
?x(n),0?n?M?1 x(n)??
0,其他n?M?1我们希望计算求z变换X(z)?j2?kN?x(n)zn?0?n在单位圆上N个等间隔点上
的抽样，即在z?e,k?0,1,?N?1上的抽样。当N?M时，试
找出只用一个N点DFT就能计算X(z)的N个抽样的方法，并证明之。 解：若N?M，可将x(n)补零到N点，即 x0(n)???则 X(ejx(n),0?n?M?1?0,M?n?N?12?kN
,0?k?N?1
)??x0(n)en?0N?1?j2?nkN1,0,1,1,0,1?的Z变换X(z)在单位圆上进行5等份10．对有限长序列x(n)??取样，得到取样值X(k)，即X(k)?X(z)求X(k)的逆傅里叶变换x1(n)。 解：
X(z)??x(n)z?n?1?z?2?z?3?z?5n?05z?W5?k,k?0,1,2,3,4
X(k)?X(z)z?W?k5?1?W52?W53?W55?2?W52?W53
??x1(n)W5knn?04
x1(n)??2,0,1,1,0?
11．设如图所示的序列x(n)的Z变换为X(z)，对X(z)在单位圆上等间隔的4点上取样得到X(k)，即X(k)?X(z)z?e2?k4j,k?0,1,2,3
试求X(k)的4点离散傅里叶逆变换x1(n)，并画出x1(n)的图形。?P379?
x?n?1-2-101234567
解：因为对X(z)在单位圆上等间隔的4点上取样，将使x(n)以4为周期进行周期延拓，所以x1(n)?形，如下图所示。
x1?n?21r????x((n?4r))，根据上式可画出x(n)的图
1?-2-101234567n
四、用离散傅立叶变换对连续时间信号逼近问题
简答题：
1．理解DFT分析信号频谱中出现的现象以及改善这些现象的方法? 解：答案略
2．补零和增加信号长度对谱分析有何影响？是否都可以提高频谱分
辨率?
解：时域补零和增加信号长度，可以使频谱谱线加密，但不能提高频谱分辨率。
3．试说明连续傅里叶变换X(f)采样点的幅值和离散傅里叶变换X(k)幅值存在什么关系？ 解：两个幅值一样。
4．解释DFT中频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱？ 解：如果采样频率过低，再DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。
泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。
计算题：
5．用某台FFT仪做谱分析。使用该仪器时，选用的抽样点数N必须是2的整数次幂。已知待分析的信号中，上限频率?1025kHz。要求谱分辨率?5Hz。试确定下列参数：1.一个记录中的最少抽样点数；2.相邻样点间的最大时间间隔；3.信号的最小记录时间。 解：因为待分析的信号中上限频率fm?1.25kHz 所以抽样频率应满足：fs?2fm?2.5kHz 因为要求谱分辨率
fs2.5?1000?5kHz，所以N??500 N5因为选用的抽样点数N必须是2的整数次幂，所以一个记录中的最少抽样点数N?512
相邻样点间的最大时间间隔T?1fsmin?11?ms?0.4ms 2fs2.5信号的最小记录时间Tpmin?N?T?512?0.4ms?204.8ms
6．（1）模拟数据以10.24千赫速率取样，且计算了1024个取样的离散
傅里叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。
（2）以上数字数据经处理以后又进行了离散傅里叶反变换，求离
散傅里叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？
解：（1）频率间隔?F?10240?10（赫） 1024（2）抽样点的间隔?T?1?97.66?s 10.24 整个1024点的时宽T=97.66?1024=100ms
7．频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512个抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。
?s?,F0?02?2?得 fs??s
F0?0证明：由 fs?
其中?s是以角频率为变量的频谱的周期，?0是频谱抽样之间的频谱间隔。 又
fs?s??N F0?0则 F0?fs N对于本题有 fs?8kHz,N?512
所以 F0?8000?15.625Hz 5128．设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力?10Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。 解：
（1） 因为T0?1,而F0?10Hz，所以 F0 T0?即最小记录长度为0.1s
1s 1011?103?10kHz，而 （2） 因为fs??T0.1 fs?2fh 所以 fh?1fs?5kHz 2即允许处理的信号最高频率为5kHz。 （3）N?T00.1??103?1000，又因N 必须为2的整数幂，所以一个T0.1记录中的最少点数为N?210?1024。