听课手册 第51讲 直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度来看有三种:相离时,直线与圆锥曲线 公共点;相切时,直线与圆锥曲线有 公共点;相交时,直线与椭圆有 公共点,直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
(2)判断直线(斜率存在)与圆锥曲线的位置关系时,通常将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),转化为关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的形式.
若a=0,b≠0,则直线与圆锥曲线有一个交点,此时,若圆锥曲线为抛物线,则直线与抛物线的 平行或重合;若圆锥曲线为双曲线,则直线与双曲线的 平行. 若a≠0,当判别式 时,直线与圆锥曲线相交; 当判别式 时,直线与圆锥曲线相切; 当判别式 时,直线与圆锥曲线相离.
(3)讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,还可以利用数形结合的方法解决. 2.直线与圆锥曲线相交所得的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|=
·
|x1-x2|=
-
或
|AB|= ·|y1-y2|= - ;
当直线的斜率不存在时,|AB|= .
3.直线与圆锥曲线相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
(1)根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.
(2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.
常用结论
1.设圆锥曲线以M(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k,则有:
(1)椭圆
+ =1(a>b>0), k=-
; ;
(2)双曲线
-=1(a>0,b>0),k=
(3)抛物线y2=2px(p>0),k=.
2.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切;
过椭圆内一点的直线与椭圆相交.
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和两条与渐近线平行的直线;
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和两条与渐近线平行的直线; 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线.
题组一 常识题
1.[教材改编] 过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有 条.
2.[教材改编] 已知与向量v=(1,0)平行的直线l与双曲线-y2=1相交于A,B两点,则|AB|的
最小值为 .
3.[教材改编] 已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与抛物线相交于P,Q两点,则
+= .
4.[教材改编] 若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是 .
题组二 常错题
◆
索引:错误利用圆锥曲线的几何性质;对直线与圆锥曲线交点个数的理解有误区;求范围时忽略圆锥曲线中x,y本
身的范围.
5.若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆 + =1的交点个数为 .
6.已知点F1,F2分别是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 .
· 的7.若点O和点F分别为椭圆 + =1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则
最小值为 .
8.直线l:y=k(x- )与双曲线x2-y2=1仅有一个公共点,则实数k的值为 .
探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 [2018·河南豫南九校一联] 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e= ,过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限内的交点为P,且|OP|= ,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点Q(0,2)的直线l交椭圆C于A,B两点,当S△AOB=时,求直线l的方程.
[总结反思] 研究直线与圆锥曲线的位置关系,通常转化为研究由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数.常用方法有:(1)代数法,即联立直线方程与圆锥曲线方程可得到一个方程组,消去y(或x)得到一个关于x(或y)的方程,此方程的根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标;(2)几何法,即画出直线与圆锥曲线的图形,根据图形判断公共点的个数,对于选择题、填空题,常充分利用几何条件,使用几何法,即数形结合的方法求解.
变式题 [2018·山西晋中调研] 已知圆C:(x-a)2+(y-b)2= 的圆心C在抛物线x2=2py(p>0)上,圆C过坐标原点且与抛物线的准线相切. (1)求该抛物线的方程;
(2)过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,分别在点A,B处作抛物线的两条切线交于P点,求三角形PAB的面积的最小值及此时直线l的方程.