14．表4-7（参见网上教材）给出了64个国家婴儿死亡率（CM）、女性文盲率（FLR）、人均GNP（PGNP）和总生育率（TFR）的数据。
（1）先验地预期CM和各个变量之间的关系。 （2）做CM对FLR的回归。
（3）做CM对FLR和PGNP的回归。
（4）做CM对FLR，PGNP和TFR的回归，并给出ANOVA表。 （5）根据各种回归结果，选择哪个模型？为什么？
（6）如果回归模型（4）是正确的模型，但却估计了（1）或（2）或（3），会有什么后果？ （7）假定做回归（2），如何决定增加变量PGNP和TFR？使用了哪种检验？给出必要的计算结果。 答：（1）CM应与FLR和PGNP负相关，但同TFR正相关。 （2）EViews的回归结果如下：
（3）回归结果如下：
（4）将TFR加入到模型中有：
可以通过R来计算方差分析表中所需变量的值，并在此基础上建立方差分析表。 （5）问题（4）中的模型要更好，因为该模型中所有变量系数的符号都符合预期， 每一个变量的回归系数都是显著的（其相应的p值很小），且对于截面数据来讲。该模型的R2也算是相当高
2了。
（6）这会使（1）（2）（3）中的模型均犯有设定偏误的错误，即模型中遗漏了某个相关解释变量，这样会造成模型的估计量不一致。关于这方面的具体知识我们将在第7章中讨论。
2（7）在当前的例子中，无约束条件下回归的可决系数Rur为0.7474。有约束条件下回归的可决系数R2为0.6696，约束条件的个数为2（（2）中的模型排除了两个变量（PGNP和TFP）），通过
F??1?R?/?n?k?2ur?R2ur?Rr2?/m~Fm,n?k，有
F??0.7474?0.6696?/2?0.03890?9.2399
?1?0.7474?/?64?6?0.00421自由度为（2，60），F统计量在统计上是显著的（相应自由度下显著性水平为1%的临界值为4.98），这意味着，PGDP和TFP都应保留在模型中。
15．利用教材式（4-23）回答如下问题： R2 n k R2
0.83 0.55 0.33 0.12 50 18 16 1200 6 9 12 32 - - - R2和R之间的关系如何？
答：下表中的最后一列数字为调整后的R：
22
可见。R既取决于样本数量，也取决于模型中解释变量个数。如果样本容量较小，而解释变量的个数相对较大，则R会比（未修正的）R小很多，正如第二个例子所显示的那样。另外，如第三个例子所示，R甚至有可能为负值。
16．计算教材例4-3中的F值。如果F值是显著的，则意味着什么？
答：通过式F?2222?1?R?/?n?k?2R2/?k?1?可知
F?0.689/4?8.3079
?1?0.689?/15自由度为（4，15）。该统计量在显著性水平为1%时是显著的，所以可以拒绝R2?0的零假设。
17．建立教材例4-2中的ANOVA表，并检验R2?0（??1%）。
答：通过例题中计算的R的值来计算ANOVA表中各变量的值然后列出方差分析表。
18．根据表2-12（参考网上教材）给出的数据，回答以下问题：
（1）建立一个多元回归模型，解释MBA毕业生的平均初职工资，并写出回归结果。
（2）如果模型中包括了GPA和GMAT这两个解释变量，先验地，可能会遇到什么问题？为什么？
（3）如果学费变量的系数为正，并且是统计显著的，是否意味着进入最昂贵的商业学校学习是值得的。学费这个变量代替了什么？
（4）假定做GMAT分数对GPA的回归分析，并且发现两变量之间显著正相关，那么你对多重共线性有何看法？
（5）对（1）建立ANOVA表，并检验假设，所有偏回归系数均为零。
（6）用R值对（5）建立ANOVA表。
答：（1）首先考虑以下回归模型，其中平均起薪（ASP）为被解释变量，回归结果如下
22
可见，GPA、学费和入学等级的回归系数在0.1%的显著性水平下都是显著的，且其均对平均起薪有正向影响。毕业生的受雇用率也对起薪有正向影响，即对某学校毕业生的需求量越大，该学校毕业生的平均起薪越高。模型的R也是相当高的。
（2）因为GPA和GMAT可能存在共线性问题，如果像（1）中那样将两个变量都包含在模型中，二者的回归系数有可能都是不显著的。上述的回归结果也的确如此。
（3）如果学费为教学质量的替代变量的话，那么在其他条件不变的前提下，学费越高，ASP也应越高。（1）中的回归结果也支持了上述结论。
（4）将GMAT作为被解释变量，GPA作为解释变量进行回归，结果如下：
2
从回归结果中可知，GMAT和GPA之间的确存在共线性问题。
（5）运用Excel软件进行方差分析，结果如下（Excel软件并不自动报告ANOVA过程的结果）：
Source of variation SS Regression Residual Total df MSS 2075281617 39748297.13 F ρ-value 10376408086 5 1709176777 43 12085584863 48 52.21057924 3.576E-17 可见，p值几乎为零，因此可以认为尽管某些解释变量之间存在共线性，这些系数在总体上是不为零的。 （6）依照表4-2的格式，我们有：
Source of variation Regression SS 0.8586 df 5 Mss 0.8586??yi2?5F ρ-value 52.21 0.0000 Residual Total 2（1-0.8586） 43 48 ?1?0.8586???y2i2? 43?yi 2 其中
?yi?550977068808.00。此结论与之前所得结论相同。
19．图4-1给出了教材例4-4的正态概率图。
图4-1 例4-4的正态概率图 AD=安德森-达林统计量
（1）根据图4-1，能否判定教材式（4-62）中的误差项服从正态分布？为什么？
（2）观察到的安德森-达林（Anderson-Darling）A2值0.468是统计显著的吗？如果是，有什么意义？如果不是，能够得出什么结论？
（3）根据给出的数据，能否确定误差项的均值与方差。 答：（1）其近似地服从正态分布，图中的残差大致勾勒出一条直线，其可能与正态分布有所偏差，但不会对回归结果产生太大的影响。
（2）不显著，Anderson-DarlingA2值大于或等于0.468的p值约为0.23。这也支持了（1）中的结论，误差项是服从正态分布的。更多关于正态概率图的讨论见第3章。
（3）均值为0，方差为0.2575（该数值等于残差平方和除以n?3?25，回归过程中共运用了表1-1中的28个样本值）。由于误差留存的问题，输出结果可能与书中所呈现的结果存在些许差异。
20．受限最小二乘（RLS）。如果受限和非受限回归中的应变量不相同，可以根据如下变形的F检验
RSSr?RSSur?/m?F?~Fm,n?k
RSSur/?n?k?m——限制个数；其中，RSSr——受限回归的残差平方和；RSSur——非受限回归的残差平方和；
?n?k?——非受限回归的自由度。
答：下表呈现了用于计算的所有原始数据：
上述表中模型的总离差平方和为4803756.7。
注：上述表格中的RSS可以很容易地从EViews报表中得到。
比较没有解释变量的第一个模型RSSr?4803756.7和包含所有解释变量的模型RSSur?525462.2的输出结果，可计算F统计量的值：
F?
?4803756.7?525462.2?/2?2139147.25?118.058
18119.38?525462.2?/?32?3?
21．参考习题5。
（1）利用受限最小二乘法判断模型是否应该引入人口这个变量。
（2）把Educ和GDP同除以Pop得到人均Educ和人均GDP。做人均Educ对人均GDP的回归，并与教材例4-5的结果进行比较。从中得到什么结论？
答：（1）比较没有包含population的模型RSSr?74658917.2和包含了population的 模型RSSur?43364.140的输出结果，可计算F统计量为
74658917.2?43364140?/131294777.2?F???25.2586
43364140/38?31238975.43????该F值较大，且其p值接近于0，因此我们可以认为两个模型之间存在显著差异，人口的确对模型有显著影响。
（2）新的回归结果如下
percapEduci??67.166?0.0584percapGDPse??46.257?t???1.452?p??0.155?2?0.004??16.019??0.000?
R2?0.8770R?0.8736F?256.611F为F统计量。
该模型对人均教育变化程度的解释力有所降低，但是总的来讲，该模型同例4.5中的回归模型相似。而且在两个模型中，截距项的回归系数不显著。
22．表4-8（参见网上教材）中的变量摘自《洛杉矾2008年的查格美食指南》，涉及被调查餐厅的四类数据：食物、风格、服务和单餐平均价格。
（1）建立一个多元回归模型，用食物、风格和服务三个变量预测价格。所有的解释变量各自都是统计显著的吗？
（2）正态分布图说明了什么问题？
（3）根据回归模型的残差以及价格的拟合值做散点图，残差图呈现出常方差吗？ 答：（1）回归结果如下：
Pricei??40.3952?1.1928Food?1.753Decor?1.1135Service?0.1594?t???15.2672??7.4838?p?value??0.000??0.000?2se??2.6458??0.1004??17.4722??0.000??0.1929??5.7716??0.000?
R2?0.4929;R?0.4916,F?401.0392,p?value?F??0.000因为所有的p值都为0.000，因此3个解释变量的回归系数在统计上都是显著的。 （2）正态分布图显示其基本符合正态分布残差的散点图如下：