19．参考习题5。表2-5给出了基本数据。
（1）用钟表价格对钟表年代和投标人数作图。散点图表明教材线性回归模型（2-27），和教材式（2-28）是否适合？
（2）用投标人数对钟表年代作图是否有意义？散点图说明了什么？
表2-5 拍卖数据（钟表价格、钟表年代和投标人数）
观察值 价格 年代 投标人数 1 1235 127 13 2 1080 115 12 3 845 127 7 4 1552 150 9 5 1047 156 6 6 1979 182 11 7 1822 156 12 8 1253 132 10 9 1297 137 9 10 946 113 9 11 1713 137 15 12 1024 117 11 13 2131 170 14 14 1550 182 8 15 1884 162 11 16 2041 184 10 答：（1）图形如下：
观察值 价格 年代 投标人数 17 854 143 6 18 1483 159 9 19 1055 108 14 20 1545 175 8 21 729 108 6 22 1792 179 9 23 1175 111 15 24 1593 187 8 25 1147 137 8 26 1092 153 6 27 1152 117 13 28 1336 126 10 29 785 111 7 30 744 115 7 31 1356 194 5 32 1262 168 7
从图中可知，投标人越多，古董钟的价格会越高，这或许是古董钟拍卖市场的规律。初次估计时，可以用线性模型来拟合价格和年限之间的关系，但同样用线性模型来拟合价格和投标人数的关系就显得过于粗略了。
（2）投标者人数同年限的散点图如下图所示：
散点图显示，钟表年限同投标者人数大致呈负相关关系，但这种关系并不明显。这可能是因为钟表的年限越高，价格越高，而有能力参与投标的人也就越少。
20．参考本章讨论的数学S．A．T分数一例。教材表2-4给出了计算OLS估计量必需的原始数据。观察Y（实
?（估计值）并作图。散点图说明了什么？如果认为拟合的模型（教材方程（2-20））是“好的”模型，际值）和Y散点图的形状应该是怎样的？下一章将讨论“好的”模型看起来是什么样子。
?的散点图如下。 答：被解释变量的实际值Y（数据见教材表2-4）和拟合值Y
如果模型拟合得好，被解释变量的实际值和拟合值则较为接近。如果模型是完美拟合的，则上述散点图应是一条直线。
21．表2-15（参见网上教材）给出了1972～2007年男、女生S．A．T词汇和数学分数。
（1）假设想要根据男生的词汇分数（X）预测其数学分数（Y），建立合适的线性回归模型并估计参数。 （2）解释回归结果。
（3）颠倒一下Y和X的角色，做词汇分数对数学分数的回归，解释回归结果。
（4）令a2为数学对词汇分数回归中的斜率系数，b2为词汇对数学分数回归中的斜率系数。把这两个系数相乘，并与两个回归方程的r值进行比较。得出什么样的结论？
答：（1）Male Math=511.607+0.0259MaleCR。
（2）该回归结果表明，男生的词汇（critical reading score）每上升一单位，男生的数学成绩平均上升0.0259个单位。
（3）Male CR=499.734+0.0196Male Math。
该回归结果表明，男生的数学成绩每上升一单位。其词汇得分平均上升0.0196个单位。 （4）将上述两个回归模型的斜率估计值相乘，可得0.0259×00196=0.0005。
在第3章我们将会介绍r，其衡量了回归线对数据的拟合程度。上述两个模型的r均是0.0005，即两个回归模型斜率估计值的乘积。值得注意的一点是，在二元回归模型中，无论是Y对X回归还是X对Y回归，r值均相同。
22．表2-16（参见网上教材）给出了不同国家1960～1974年间投资率和储蓄率的数据，两个指标都是用其占GDP的比重来度量。
（1）以投资率为纵轴，储蓄率为横轴作图。
2222
（2）通过上图，观察出一条合适的曲线。 （3）估计下面的模型：
ipergdpi?B1?B2spergdpi?ui
（4）解释回归系数。
（5）从分析中你能得出什么结论？ 答：略。
三、选作题 23．证明：证明：
?e?0，从而证明：e?0。
i?e???Y?b?bX??nY???Y?bX??b?X?bii12i22i1?Y?b2X?
?nY?nY?b2nX?b2nX?0
24．证明：证明：
?exii?0。
?eiXi???Yi?b1?b2Xi?Xi??YiXi?b1?Xi?b2?Xi?0
25．证明：证明：
2?eY??0，即对残差e与Y估计值之积求和为零。
iiii???e?b?bX??b?e?b?eX?eYiii12i1i2ii?0
?，即Y的实际均值与Y估计值的均值相同。 26．证明：Y?Y??e，两边同时对i求和，可得： 证明：因为有Yi?Yii???e
?Y??Yiii两边同时除以n可得：
?Y/n??Y?/n??e/n
iii因为上式的最后一项等于0，因此得证。
27．证明：证明：
?xy??xY??Xyiiiiiiiiii，其中，xi?(Xi?X)，yi?(Yi?Y)。
iiii?xy??x?Y?Y???xY?Y?x??xY，因为Y为常数且?x???Xii?X?0，本
?问题中的另一个表达式也可以通过类似的方法来推导。
28．证明：证明：
i?x??y?0，其中，x?(Xiiiii?X)，yi?(Yi?Y)。
?x???X?X??Xi?nX?nX?nX?0，第一个等号是因为X常数，第二个等号是因为
?X??Xi/n。
相似的推导过程
?y同样适用。牢记一个随机变量的离差平方和为零是十分有益的。
i
29．利用数学S．A．T分数一例的数据验证习题22（保留舍入误差）。 答：该问题的证明过程比较简单，保存舍入误差。
第三章 双变量模型：假设检验
3.1 复习笔记
一、古典线性回归模型
古典线性回归模型假定如下：
假定1：回归模型是参数线性的，但不一定是变量线性的。回归模型形式如下：
Yi?B1?B2Xi?ui
这个模型可以扩展到多个解释变量的情形。
假定2：解释变量X与扰动误差项u不相关。但是，如果X是非随机的（即为固定值），则该假定自动满足。即使X值是随机的，如果样本容量足够大，也不会对分析产生严重影响。
假定3：给定X，扰动项的期望或均值为零。即
E(u|Xi)?0 （3-1）
假定4：ui的方差为常数，或同方差，即
var(ui)??2 （3-2）
假定5：无自相关假定，即两个误差项之间不相关。
cov(ui,uj)?0 i?j （3-3）
无自相关假定表明误差ui是随机的。由于假定任何两个误差项不相关，所以任何两个Y值也是不相关的，即cov(Yi,Yj)?0。由于Yi?B1?B2Xi?ui，则给定B值和X值，Y随u的变化而变化。因此，如果u是不相关的，则Y也是不相关的。
假定6：回归模型是正确设定的。换句话说，实证分析的模型不存在设定偏差或设定误差。 这一假定表明，模型中包括了所有影响变量。
二、普通最小二乘估计量的方差与标准误
有了上述这些假定就能够估计出OLS估计量的方差和标准误。由此可知，教材式（2-16）和教材式（2-17）给出的OLS估计量是随机变量，因为其值随样本的不同而变化。这种抽样变异性通常由估计量的方差或其标准误（方差的平方根）来度量。教材式（2-16）和式（2-17）中OLS估计量的方差及标准误是：
var?b1???b12?X?n?x22? （3-4） 2iise(b1)?var(b1) （3-5） var（b2）=??2b2?2?x2i （3-6）
（3-7） se（b2）=var（b2）其中，var表示方差，se表示标准误，?2是扰动项ui的方差。根据同方差假定，每一个ui具有相同的方差
?2。
一旦知道了?2，就很容易计算等式右边的项，从而求得OLS估计量的方差和标准误。根据下式估计?2：