全国名校高考数学复习优质专题学案汇编（附详解）
归纳推理与类比推理
一、基础知识： （一）归纳推理：
1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理
2、处理归纳推理的常见思路：
（1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律 （2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律）
（3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型：
（1）函数的迭代：设f是D?D的函数，对任意x?D，记
f?0??x??x,f?1??x??f?x?,f?2??x??f??f?x???,?n?f?n?1??x??f?f?x????，则称函
数f?n??x?为f?x?的n次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其f?n??x?通常具备某些特征（特征与n）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到f?n??x?的通式
（2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。
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（3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式）
（4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标aij进行表示，其中i代表行，j代表列。例如：a34表示第3行第4列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。 （二）类比推理：
1、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）
2、常见的类比类型及处理方法：
（1）运算的类比：通常是运算级数相对应： ① 加法?乘法，
② 数乘（系数与项的乘法）?指数幂 ③ 减法?除法
（2）运算律的类比：在数学中的其它领域，如果满足加法，乘法的交换律，以及乘法的分配律，则代数表达式部分运算公式可推广到该领
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域中。例如
①在向量数量积的运算中，满足交换律与分配律，则：
代数中的平方差公式：a2?b2??a?b??a?b?，和差完全平方公式：
?a?b??a2?2ab?b2 均可推广到向量数量积中：a?b?a?ba?b，
222?????a?b?2?a?2a?b?b
22②在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二项式定理）
（3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘），等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方）。所以在某些性质中体现出运算上的类比。例如：设?an?为等差数列，公差为d；?bn?为等比数列，公比为q，则 ① 递推公式：an?1?an?d?bn?1?q bn② 通项公式：an?a1??n?1?d?bn?b1?qn?1
③ 双项性质：m?n?p?q?am?an?ap?aq?m?n?p?q?bmbn?bpbq ④ 等间隔取项，在数列?an?，?bn?中等间隔的取项： 则ak,ak,ak,成等差数列?bk,bk,bk, 成等比数列
12m12m（4）维度的类比：平面几何（二维）的结论与立体几何（三维）的结论进行类比，当维度升高时，涉及的要素也将维度升高，例如： ①位置关系：平面中的线的关系?空间中的面的关系，线所成的角?线面角或二面角，
②度量：线段长度?图形的面积，图形面积?几何体体积，点到线的
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距离?点到平面距离
③衍生图形：内切圆?内切球，外接圆?外接球，面对角线?体对角线
（5）平面坐标与空间坐标的类比：平面直角坐标系坐标?x,y??空间直角坐标系坐标?x,y,z?，在有些坐标运算的问题中，只需加上竖坐标的运算即可完成推广，例如： ① 线段中点坐标公式：
平面：设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB中点M??x1?x2y1?y2?,? 22??x1?x2y1?y2z1?z2?,,? 22??2空间：设A?x1,y1,z1?,B?x2,y2,z2?，则AB中点M??② 两点间距离公式：
平面：设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x1?x2???y1?y2?
空间：设A?x1,y1,z1?,B?x2,y2,z2?，则AB??x1?x2???y1?y2???z1?z2? 3、同一个命题，不同的角度类比得到的结论可能不同，通常类比只是提供一个思路与方向，猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论 二、典型例题： 例
1
：
已
'22222知f?x??'xex，
，
经
定计
义算
f1?x??f'?x?,f2?x????f1?x???,,fn?1?x????fn?x???3?x?f x照此规律，则,x, f2015?1??（ ）3e2014A. ?2015 B. 2015 C. D.
e2014? ef1???x1?x,ex??2f?x?2x?,ex?