2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案
1. 圆筒质量m。质量惯性矩Jo，在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动，如图所示，求其
固有频率。（10分）
?O
kr??A?cos?t 解：令x?Asin?t,xT?121?2??Jo?mx22?121x??Jo()2?mx22r
1Jo2??(m?2)x2r1Jo222?A?cos2?t?(m?2)x2r?kx12122kx?kAsin?t 22?Tmax?UmaxU?1Jo22212?A??kA ?(m?2)x2r2k??m?Jo/r2
2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力P(t)?P0sin?t的作用，求质量m稳态响应的幅值。（10分）
k1
k2
m
?m?xk2x2m k1x1
P(t)
P(t) k2x2
解：设m的位移为x，则x?x1?x2 (1) 其中,x1为弹簧k1的变形，x2为弹簧k2的变形
??k2x2?0 对m列运动微分方程： m?x对连接点列平衡方程： k1x1?k2x2?P(t) 由(3)式可以得出：
(2) (3)
x1?P(t)?k2x2
k1?P(t)?k1x
k1?k2将上式代入(1)式可得出：
x2???将上式代入(2)式可得出：m?xk1k2k2x?P(t)?0
k1?k2k1?k2令ke?kk1k2,?e?e，有
k1?k2m??kex?m?xPkk2P(t)?02sin?t
k1?k2k1?k2?x?P0k211??sin?tk1?k2ke1?(?)2?eP1?0?sin?tk11?(?)2
?e
3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。（10分）
x x1?Asin?t
k c ? cx
m
解：对物体m列运动微分方程，有：
即：
m k?x1?x?
? m?x??cx??k(x1?x)?0 m?x??cx??kx?kAsin?t m?x其稳态响应为：
x?kA1?sin(?t??)
222k(1?s)?(2?s)其中，s??kc2?s ,?0?,??,??arctan2?0m1?s2km
4. 如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L，弹性模量为E，横截面对中性轴的惯性矩为I，梁材料密度为?。在梁的a位置作用有集中载荷
y0F(t)xF(t)。已知梁的初始条件为零。求解梁的响
应。（假定已知第i阶固有频率为?i，相应的模态函数为?i(x)，i?1~?）（20分）
a
解：悬臂梁的运动微分方程为：
其中：
令：
代入运动微分方程，有：
??????i?f(x,t) ?(EI?i)qi??S??iqi?1i?1?l（1） (2)
?4y?2yEI4??S2?f(x,t) ?x?tf(x,t)?F(t)?(x?a)
y(x,t)???i(x)qi(t)
i?1?(3)
(4)
上式两边乘?j(x)，并沿梁长度对x进行积分，有：
?q?ii?1?L0?LL?????(EI?i)?jdx??qi??S?i?jdx??f(x,t)?jdx
i?100(5)
利用正交性条件，可得：
其中广义力为：
L??j(t)??2qjqj(t)?Qj(t)
Qj(t)??f(t)?jdx??F(t)?(x?a)?jdx?F(t)?j(a)
00L(6) (7)
由式（6），可得： qj(t)?1?j??L0Qj(?)sin?j(t??)d???1?j?j(a)?F(?)sin?j(t??)d? （8）
0L利用式（3），梁的响应为：
?1?Ly(x,t)???i(x)qi(t)???i(x)??j(a)?F(?)sin?j(t??)d?? (9)
0i?1i?1????j?