《数学分析》教案
第十七章 多元函数微分学
§ 1 可微性
一． 可微性与全微分： 1． 可微性： 由一元函数引入.
亦可写为
,
时
2． 全微分: 例1 考查函数
二. 偏导数:
1. 偏导数的定义、记法:
.
在点
处的可微性 . P107例1
2. 偏导数的几何意义: P109 图案17—1. 3. 求偏导数:
例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5
. 求偏导数.
例6
. 求偏导数.
例7
. 求偏导数, 并求
.
例8 . 求
和
.
解
=
,
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=
.
例9
证明函数 在点 连续 , 并求
和
.
证
.
在点
连续 .
,
不存在 .
三. 可微条件:
1. 必要条件: Th 1 设
为函数
定义域的内点.
在点
可微 ,
和
存在 , 且
. ( 证 )
由于
, 微分记为
.
定理1给出了计算可微函数全微分的方法.
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两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10 考查函数
在原点的可微性 . [1]P110 例5 .
2. 充分条件: Th 2 若函数 点
处连续 . 则函数
在点 可微 .
的偏导数在的某邻域内存在 , 且 在点
和
在
可微 . ( 证 ) P111
Th 3 若则函数在点
处连续,
点
存在 ,
例11
证
因此 , 即 ,
在点
可微 ,
. 但
时, 有
,
沿方向
不存在,
沿方向
极限
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