4.10 三角函数的应用
一.知识点:
1. 三角函数的性质和图象变换; 2. 三角函数的恒等变形. 3. 三角函数的化简,求值,证明. 4. 三角函数与几何,向量.等关系 二.例题分析: (一) 化简思想 例1 (P67).
化简:cos(3k?13???)?cos(3k?13???)
思路点拨：熟悉三角公式. (二).整体思想 例
2.P(68)
已
sin(???)?21tan?3,sin(???)?5,求tan?的值. 思路点拨：
sin?cos?,cos?sin?作为整体,???,???为整体
深化拓展:P68 (三).换元思想 例3. P(68)
知
或
求函数y?2sinx(1?sinx)?,x?(0,)的值域
3?cos2x?4sinx2三.与其它知识综合 (一).与向量综合 例
4. ( 05
山东)已知向量
rm?(cos?,sin?)和
rn?(2?sin?,cos?),??(?,2?)，且
rr82??m?n?，求cos(?)的值 528解:
因为m?n?(cos??sin??2,cos??sin?),
rrm?n?(cos??sin??2)2?(cos??sin?)2 rr ?4?22(cos??sin?)?4?4cos(??)?21?cos(??)
44??由已知m?n??4rr82?7，得cos(??)? 5425又cos(??)?2cos2(?)?1
2??8??16所以 cos2(?)? 28255???9???4∵ ????2?,????所以cos(?)??
8288285(二)与反三角综合.
例5已知sinx??，根据下列条件求角x：
??,①x??；②x??0,2??；③x?R ??22??1??解：①x?arcsin??????；
?2?612?? ②?sinx??〈0，?x???,2??，?x有两个值，
12
当x????,?3???时，2????x????0,??2?，而sin(x??)??sinx?12，
1?7? ?x???arcsin?得x?266当x???3?1????,2??时，x?2????,0?，而sin(x?2?)?sinx??，222????1?11?。 ?x?2??arcsin(?)??得x?266③从②可知所求为：?xx????7?11??2k?,或x??2k?，k?Z? 66???1?=?xx???1?karcsin???k?，k?Z??? ??2??思路点拨：已知三角函数值求在指定区间上的角时先观察是否在可反区间上，若是则直接反即是，若不是则把角变换到可反区间上而由已知求出变换后的角的函数值，然后进行反三角，最后求出所求的角的大小。
(三)与函数综合.
(05上海)对定义域是Df.Dg的函数y?f(x).y?g(x)，
?f(x)g(x),当x?Df且x?Dg?规定：函数h(x)??f(x),当x?Df且x?Dg
?g(x),当x?D且x?Dfg?（1）若函数f(x)?1，g(x)?x2，写出函数h(x)的解析式； x?1（2）求问题（1）中函数h(x)的值域；
（3）若g(x)?f(x??)，其中?是常数，且???0,??，请设计一个定义域为R的函数y?f(x)，及一个?的值，使得h(x)?cos4x，并予以证明