专题十六 椭圆、双曲线、抛物线
xy
1．已知双曲线－2＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到
4b其渐近线的距离等于( )．
A.5 B．4 2 C．3 D．5
x2y2
答案： A [易求得抛物线y＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－2＝1的右焦点为(3,0)，
4b
2
2
2
即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，
5
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为
2
?5×3??2?
51＋4
＝
5.]
2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4 3，则C的实轴长为( )．
A.2 B．2 2 C．4 D．8
答案：C [抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2 3)在等轴双曲线C；x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.]
x2y23
3．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C
ab2有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )．
x2y2
A.＋＝1 82x2y2
C.＋＝1 164
x2y2
B.＋＝1 126x2y2
D.＋＝1 205
3c333
，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以2a244
[来源学科网Z|X|X|K]
答案：D [因为椭圆的离心率为
2
12x2x2x2x222
b＝a，即a＝4b.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得2＋2＝1，即2＋2＝4ab4bb5x222242242
2＝1，所以x＝b，x＝±b，y＝b，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆4b5555C的交点坐标为?
222216
b，b?，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，
55??555
x2y2
所以椭圆方程为＋＝1.]
205
4．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
解析 直线l的方程为y＝3(x－1)，即x＝4 3＋ 3
＝0，解得yA＝
源:Zxxk.Com]34 3
y＋1，代入抛物线方程得y2－y－433
16
＋1632
1
＝2 3(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2 3＝3.2
[来 答案
3
圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择或者填空题，
一个解答题．选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系．
复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧．
二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力.
必备知识
x2y2
椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)，点P(x，y)在椭圆上．
abc
(1)离心率：e＝＝a
b21－2； a
2b2
(2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为：. ax2y2
双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)，点P(x，y)在双曲线上．
abc
(1)离心率：e＝＝a
b21＋2； a
2b2
(2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为：. a
抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线上．
p
(1)焦半径|CF|＝x1＋；
2
pp2p11
(2)过焦点弦长|CD|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，|CD|＝2(其中α为倾斜角)，＋22sinα|CF||DF|2
＝； p
p2
(3)x1x2＝，y1y2＝－p2；
4
(4)以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切，以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切．
必备方法
1．求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法
①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义．
x2y2
②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为＋＝1(m＞0，n＞0)．
mnx2y2
双曲线方程可设为－＝1(mn＞0)．
mn这样可以避免讨论和繁琐的计算． 2．求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程．
(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程． (3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系．
(4)交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹．
注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.
椭圆、双曲线、抛物线定义的应用