高考数学解题技巧大揭秘专题十六:椭圆、双曲线、抛物线

专题十六 椭圆、双曲线、抛物线

xy

1.已知双曲线-2=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到

4b其渐近线的距离等于( ).

A.5 B.4 2 C.3 D.5

x2y2

答案: A [易求得抛物线y=12x的焦点为(3,0),故双曲线-2=1的右焦点为(3,0),

4b

2

2

2

即c=3,故32=4+b2,∴b2=5,

5

∴双曲线的渐近线方程为y=±x,∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为

2

?5×3??2?

51+4

5.]

2.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4 3,则C的实轴长为( ).

A.2 B.2 2 C.4 D.8

答案:C [抛物线y2=16x的准线方程是x=-4,所以点A(-4,2 3)在等轴双曲线C;x2-y2=a2(a>0)上,将点A的坐标代入得a=2,所以C的实轴长为4.]

x2y23

3.已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C

ab2有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( ).

x2y2

A.+=1 82x2y2

C.+=1 164

x2y2

B.+=1 126x2y2

D.+=1 205

3c333

,所以e==,c2=a2,c2=a2=a2-b2,所以2a244

[来源学科网Z|X|X|K]

答案:D [因为椭圆的离心率为

2

12x2x2x2x222

b=a,即a=4b.双曲线的渐近线方程为y=±x,代入椭圆方程得2+2=1,即2+2=4ab4bb5x222242242

2=1,所以x=b,x=±b,y=b,y=±b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆4b5555C的交点坐标为?

222216

b,b?,所以四边形的面积为4×b×b=b2=16,所以b2=5,

55??555

x2y2

所以椭圆方程为+=1.]

205

4.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为________.

解析 直线l的方程为y=3(x-1),即x=4 3+ 3

=0,解得yA=

源:Zxxk.Com]34 3

y+1,代入抛物线方程得y2-y-433

16

+1632

1

=2 3(yB<0,舍去),故△OAF的面积为×1×2 3=3.2

[来 答案

3

圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一,在高考中一般有1~2个选择或者填空题,

一个解答题.选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用,主要针对圆锥曲线本身,综合性较小,试题的难度一般不大;解答题主要是以椭圆为基本依托,考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系.

复习中,一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法,在抓住通性通法的同时,要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧.

二要熟悉圆锥曲线的几何性质,重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略,提高运用函数与方程思想,向量与导数的方法来解决问题的能力.

必备知识

x2y2

椭圆2+2=1(a>b>0),点P(x,y)在椭圆上.

abc

(1)离心率:e==a

b21-2; a

2b2

(2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径,其长度为:. ax2y2

双曲线2-2=1(a>0,b>0),点P(x,y)在双曲线上.

abc

(1)离心率:e==a

b21+2; a

2b2

(2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径,其长度为:. a

抛物线y2=2px(p>0),点C(x1,y1),D(x2,y2)在抛物线上.

p

(1)焦半径|CF|=x1+;

2

pp2p11

(2)过焦点弦长|CD|=x1++x2+=x1+x2+p,|CD|=2(其中α为倾斜角),+22sinα|CF||DF|2

=; p

p2

(3)x1x2=,y1y2=-p2;

4

(4)以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切,以抛物线焦点弦为直径的圆,必与准线相切.

必备方法

1.求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法

①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a不具有p的几何意义.

x2y2

②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为+=1(m>0,n>0).

mnx2y2

双曲线方程可设为-=1(mn>0).

mn这样可以避免讨论和繁琐的计算. 2.求轨迹方程的常用方法

(1)直接法:将几何关系直接转化成代数方程.

(2)定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系数法求方程. (3)代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系.

(4)交轨法:写出两条动直线的方程直接消参,求得两条动直线交点的轨迹.

注意:①建系要符合最优化原则;②求轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是图形,而轨迹方程则是代数表达式;③化简是否同解变形,是否满足题意,验证特殊点是否成立等.

椭圆、双曲线、抛物线定义的应用

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