专题三 第3讲
→→
1．(教材回归)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( A ) 1→4→→
A.AD＝－AB＋AC
33→4→1→
C.AD＝AB＋AC
33
→1→4→
B.AD＝AB－AC
33→4→1→
D.AD＝AB－AC
33
1→4→→→→→→→→4→→4→→
解析 AD＝AB＋BD＝AB＋BC＋CD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC.故选
3333A.
2．(教材回归)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( A ) A．1 C．3
B．2 D．5
解析 由|a＋b|＝10得a2＋b2＋2a·b＝10，① 由|a－b|＝6得a2＋b2－2a·b＝6，② ①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1，故选A.
22
3．(考点聚焦)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角
3为( A )
πA. 43πC． 4
πB．
2D．π
解析 ∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝0?3|a|2－a·b－2|b|2＝0?3|a|2－|a|·|b|·cos
〈a，b〉－2|b|2＝0.
又∵|a|＝
22
|b|， 3
8222∴|b|2－|b|·cos〈a，b〉－2|b|2＝0. 33∴cos〈a，b〉＝
2
. 2
π
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.故选A.
4
→→
4．(2017·北京四中模拟)已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝4DC.若向量AB＝xDA→
＋yCB，则x－y＝( D )
8A. 3C．0
B．1 8D．－
3
解析 如图，过点D作DE，使得DE∥CB交AB于点E.
4→4→448→4→4→→
因为AB＝AE＝(DE－DA)＝－DA＋CB，所以x＝－，y＝，x－y＝－.
3333333
→→
5．(考点聚焦)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为( A )
32A.
232C．－
2
315B．
2315D．－ 2
→→→
解析 AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，|CD|＝52， →→AB·CD153→→
故AB在CD上的投影为＝＝2.故选A.
2→52|CD|
→→→→→→
6．在△ABC中，|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则AE·AF＝( B )
8A. 9
10B．
9
25C．
926D．
9
→→→→→→
解析 由|AB＋AC|＝|AB－AC|，化简得AB·AC＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，→→它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，
22?142214→→→→212410
，，F?，?，所以AE＝?，?，AF＝?，?，所以AE·则E?AF＝×＋×＝. ?33??33??33??33?333397．(2017·湖南长沙模拟)称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则( B )
A．a⊥b C．a⊥(a－b)
B．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
解析 由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)．故选B.
18．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ .
2解析 由于a，b不平行，所以可以以a，b作为一组基底，于是λa＋b与a＋2b平行等λ11价于＝，即λ＝.
122
→→→→9．(2017·江西南昌调考)P是△ABC所在的平面上一点，满足PA＋PB＋PC＝2AB，若S
△ABC
＝12，则△PAB的面积为__4__. →→→→解析 因为PA＋PB＋PC＝2AB. →→→→→
所以PA＋PB－AB＋PC－AB＝0， →→→→→
则PA＋PA＋PA＋AC－AB＝0，