試求不定方程的整數解。 一.簡介：在１８４２年，比利時數學家卡塔蘭（Catalan，1814-1894）做出了一個猜想：除了上述的８和９分別為正整數的方幂外，再也沒有其他兩個連續的數也分別都是正整數的方幂了。當然，這裏所指的方幂均大於１。這就是著名的卡塔蘭猜想或者稱為卡塔蘭問題。如果使用方程的語言，則卡塔蘭猜想相當於說下述四個變量的不定方程xm?yn?1，m>1，m>1，的正整數解只有x=3，m=2，y=2，n=3。１９６２年，我國著名數學家柯召首先在卡塔蘭猜想方面取得了突破。他証明了下述不定方程x2?yn?1，n>1，只有一組解x=3，y=2，n=3。而方程xm?y2?1，m>1，沒有正整數解，從而解決了在兩個正整數方幂中有一個是平方數時的卡塔蘭猜想。現嘗試用初等的方法求此不定方程的整數解，解決此題需要用到同餘和整除的概念和性質，還要運用解不定方程的一些常用方法。 以下介紹同餘的概念和性質。 定義:若整數a,b被正整數m除的餘數相同，則稱a與b對模m同餘,記為ab (mod m).(可簡述為“a等於b模m”) 性質：1. ab (mod m) 2. 若 (mod m)且a2m∣(a-b) b2(mod m)，則 (mod m)；(mod m) 3. 若n是正整數且ab (mod m)，則二.題解:由 １. ∵0 ∴+10 y-1 若y=-1，則x=0； 若y=0，則x=1； 若y=1，則x=若y=2，則x=3 ２. 當y>2時， 若此時方程有整數解，則 =(y+1)(-y+1) 設質數p∣(y+1)，則p∣ p∣x， y-1 (mod p)，-y+11-(-1)+13 (mod p) （１）若p3 則p(-y+1) 從而(y+1,-y+1)=1 ； (mod m) 因此必有y+1=，-y+1=，x=ab ∵=-y+1=+y=-(y-1) ∴ b矛盾 ∴當y>2時，方程無整數解。 另一方法： ∵=-y+1=+y (y>2) ∴>-(y-1)= (矛盾) （1）若p=3， 則3∣x且3∣(y+1) 可設x=3k，y=3t-1 以初等方法暫未能解決。(由我國數學家柯召所得結論可知，此時方程沒有正整數解) 由１．得方程的整數解為(0,-1),(1,0),(-1,0),(3,2),(-3,2) 三.總結：在解不定方程的問題時，要靈活地，綜合地運用多種解題方法，如上述問題就綜合地運用因式分解法，不等式法及同餘法，特殊的模法（如奇偶分析，本題取模為質數），縮小變數的範圍或性質，得出不定方程的整數解或判定其無解。 利用同餘方法對解整除問題有時會十分便捷，以下便是類似的例子： 設x，y ,且5不能整除x，y，求證：能被５整除。 (y>0，y-1>0) 證：x1,2,3,4 (mod 5) 1,1,1,1 (mod 5) 即1 (mod 5) 同理1 (mod 5) 1-3X1+19921990) (mod 5) ∴5∣(