2011年综合型大学自主招生选拔联合考试（北约）物理试题解析
第一题 （14分)
平直铁轨上停着一节质量M?2m的小车厢，可以忽略车厢与水平铁轨之间的摩擦。有N名组员沿着铁轨方向列队前行，另有1名组长在最后，每名组员的质量同为m。 ⑴ 当组员和组长发现前面车厢时，都以相同速度v0跑步，每各组员在接近车厢时又以2v0速度跑着上车坐下，组长却因跑步速度没有改为而恰好未追上车，试求N。
v ⑵ 组员们上车后，组长前进速度减为0，车上的组员朝着车厢前行方向一个接一个
2水平跳下，组员离开车瞬间相对车厢速度大小同为u，结果又可使组长也能追上车。试问，跳车过程中组员们总共至少消耗掉人体中的多少内能？ [解析]
⑴ 设组员全部上车后，车的速度为v
由动量守恒：
2Nmv0??M?Nm?v（2） 2Nm2N?v?v0?v0（0.5）
M?Nm2?N队长恰好未能追上车，必有 v?v0（1）
即得N?2（0.5） ………写出N?2并写出动量守恒给全分，只写出N?2未写出理由不得分
⑵ 设第一名组员离开后车速度v1，第二名组员离开后车速度v2 由动量守恒：
?M?2m?v0??M?m?v1?m?v1?u?（1） …如果把m?v1?u?写为m?v0?u?方程给0.5分，
结果不给分
u（1） 4?M?m?v1?Mv2?m?v2?u?（1） ?4v0?4v1?u?v1?v0??3v1?3v2?u?v2?v1?
…如果设人的速度求解，只要结果等效给全分 ….如果把两人当作同时跳离，不得分
u（1） 3可使组长也能追上车，要求
11u7?11?v2?v0?v0?v2?v1??v0????u?v0?u（1）…把临界条件写为等号或者小于
22312?34?等于扣0.5分
6?u?v0（1）
761为了计算临界情况，取v2?v0，u?v0，得
72u1123v1?u0??v0，v1?u?v0（0.5）
41414u119v2?v1??v0，v2?u?v0（0.5）
3214121?1222 （2） ….前面是否正确，只要能量守E内?Mv2?m?v1?u???v2?u????M?2m?v0?222?恒方程与前面自洽，即给两分 512 （1） …只要此结果正确，有能量方程，没有中间结果也给全分 ?mv098
第二题( 12分)
两质量为m的小球，放在劲度系数为k，原长为L的弹簧两端，自由静止释放。设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上并已知小球密度为?。 ①问在两球间万有引力作用下，弹簧最大压缩量。
②若体系整体绕中心?角度旋转，要求弹簧保持原长，?应为多大？ [解析] ①共7分。 设小球半径为r 43?r?V?m （2） 3设平衡位置相对原长移动?l 则由?F?0：
Gm2Gm2?l?k??0（2） 写对1分。 k?l写对1分，22?l?2r??l??l?2r??l?由于?ll万有引力很弱。 Gm2∴?l≈2 （2）
lk压缩到最大程度共缩2?l。
2Gm2 使用能量守恒方程，正确写出方程给5分，解对结果给2?l?2（1）
lk2分。 ②共5分
由?F?ma；弹簧弹力为0
Gm22Lm??(?r)? （4）只写向心加速度2分，写对万有引力2分
2(L?2r)2解得：??Gm（1）
4(L?2r)3若把r直接当作0，结果正确得1分
第三题（ 16分）
设一天的时间为T，地面上的重力加速度为g，地球半径为R0 ⑴ 试求地球同步卫星P的轨道半径Rp
⑵ 赤道城市A的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P。
（2.1）设P的运动方向突然偏北转过45?，试分析地判定而当地居民一天解有多少次机会可看到P掠过城市上空。
（2.2）取消（2.1）问中偏转，设P从原来的运动方向突然偏西北转过105?，再分析地判定而经当地居民一天能有多少次机会可看到P掠过城市上空。 （3）另一个赤道城市B的居民，平均每三天有四次机会，可看到某卫星自东向西掠过该城市上空，试求Q的轨道半径RQ。
解析：⑴由牛顿第二定律
GMmm?2Rp? 2Rp由定义
（3）
2，??GM?gR02π （2） T解得
gR02T2RP? （2）
4?2（2.1）取地心不动的惯性参照系。卫星运动方向偏北转过45?，P点就的大圆轨道绕圆心运动，A城P边赤道沿大圆，绕地心运动，经过半天，各转过半个大圆近日方向相遇。再经过半天，各自又转过半个大圆，近日方向相遇。故当地居民一天能有两次机会可看到P掠过城市上空。 （2） （2.2）分析同（2.1），只是每经过半天，各转过半个大圆，经过半天相遇，结论仍为当地居民一天能有两次机会看到P略过城市上空。 （2） （3）由题意得
36??B转过大圆B转过大圆?3?6??44 天? B城Q星：天?134?4?Q转过大圆Q转过大圆???4?4912??B转过大圆B转过大圆?12?9??44天? 天?4344?Q转过大圆?Q转过大圆???4?4故Q的角速度?Q为B（地球）的（自转）角速度?B的三分之一，即有
33?TQ(周期)?3TB?3T （2）….若得到TQ?TB给1分
43同第（1）问，得：
2πGM?gRe2，?Q?
TQ?Q??B2m?QRQ?GMm 2RQ22e213（1）
?9gRT?解得：RQ??（2） ?
?4π?
第四题 14分
设无重力空间有匀强电场E。现两质量为m的小球，A带电q?0，B不带电。t?0时，两球静止，且相距l，AB方向与E方向相同。t?0时刻，A开始受电场力而向B运动。A与B相遇时发生第一次间弹性正碰（关于弹性正碰的性质参见题五），A、B无电量转移，求第8次正碰到第9次正碰之间需要的时间。 [解析] 画出两球的v-t图，发现每两次碰撞之间需要时间相同
Eq A球加速度 a?
m2Eql第一次碰撞前相对速度v0?2al? m两次碰撞过程中相对速度从?v0变化到v0
所以两次碰撞之间需要时间t?2v02Eql2lm??2 amEq
正确解出第一次碰撞后的两球的运动速度，及A从静止到第一次碰撞所需的时间：（2分）