课时跟踪练(五十二)
A组 基础巩固
x2y2
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
94A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，又(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆相交．
答案：A
x2y2
2．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y
ab＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是( )
1A. 2
B.2 2
C.3 2
D.5 5
解析：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭b2b2
圆方程，由点差法可知yM＝－2xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得2aka1
＝，e＝ 4
故选C. 答案：C
x22
3．(2019·吕梁模拟)设F1，F2分别是椭圆＋y＝1的左、右焦
4→→→
点，若椭圆上存在一点P，使得(OP＋OF2)·PF2＝0(O为坐标原点，则△F1PF2的面积是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
?b?23
??1－a＝，
2??
→→→→→→→→
解析：因为(OP＋OF2)·PF2＝(OP＋F1O)·PF2＝F1P·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，1
m2＋n2＝12，2mn＝4，所以S△F1PF2＝mn＝1.故选D.
2
答案：D
4．若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的x2y2
坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋＝1的公共点的个
43数为( )
A．0
B．1
C．2
D．1或2
解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3＝0的距离为32222
>3，所以a＋b<3.又a，b不同时为零，所以0 由0 线与椭圆＋＝1的公共点有2个．故选C. 43 答案：C x22 5．斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A，B两点，则|AB| 4的最大值为( ) A．2 45B. 5 410C. 5 810D. 5 x225 解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y＝1，消去y得x2 44＋2tx＋t2－1＝0，由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即t2<5，|AB|＝（1＋1）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝ 42 5 5－t2≤ 410 (当且仅当t＝05 时取等号)．故选C. 答案：C y2x2 6．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且 ab垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________． y2x2 解析：因为椭圆2＋2＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，焦 ab2b2 点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1， ay22 a＝2，所以椭圆方程为＋x＝1. 4 y2 答案：＋x2＝1 4 x2y2 7．(2019·赣南五校联考)椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点 ab分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆E的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． 解析：由已知得直线y＝3(x＋c)过M、F1两点，所以直线MF1 的斜率为3，所以∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，则MF1＝c，MF2＝3c，由点M在椭圆E上知，c＋3c＝2a，故ec ＝＝3－1. a 答案：3－1 x2y2 8．已知直线l过点P(2，1)且与椭圆＋＝1交于A，B两点， 94当P为AB中点时，直线AB的方程为________．