数学精英解
其中正确命题的序号是（ ） Ａ．①、③ Ｂ．②、④ Ｃ．①、④ Ｄ．②、③
【解析】C 对于②，在两平行平面内的直线有两种位置关系：平行或异面；对于③，平行线中有一条与平面平行，则另一条可能与平面平行，也可能在平面内.
8.(2007年全国卷Ⅱ第7题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于 (A)
6 4(B)
10 4 (C)
2 2 (D)
3 2【解析】A 欲求直线AB1与侧面ACC1A1所成角，关键是要找到直线AB1在平面ACC1A1内的射影，即要找到B1在这个平面内的射影，根据正棱柱的性质和平面与平面垂直的性质定理易知，B1在这个平面内的射影是AC11的中点D.
A1DC1B16所以?B1AD就是所求.由题设，可计算出所成角的正弦值为， 故选A.
4【说明】 若在直角三角形内的角边关系混淆，易选错为B；若对 直线和平面所成角的概念不清，易选错为C或D。
9.(2007年天津卷第6题) 设a，b为两条直线，?，?为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
ACBＡ．若a，b与?所成的角相等，则a∥b； Ｂ．若a∥?，b∥?，?∥?，则a∥b Ｃ．若a??，b??，a∥b，则?∥?； Ｄ．若a??，b??，???，则a?b
【解析】D
A中，a、b可能平行、相交、异面； B中，a、b可能平行、相交、异面； C中a、b可以同时与α、β的交线平行； D中a、b可以看作是α、β的法向量. 【说明】 还可以教室的一角为模型，再选择不同的墙线作为直线举反例.
10. (2007年重庆卷第3题)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ） Ａ．5部分 Ｂ．6部分 Ｃ．7部分 Ｄ．8部分 【解析】C 以点代线，以线代面，可画示意图如下：
【说明】 图直观，无须说理.
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11. (2007年辽宁卷第7题) 若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下命题中的真．命题是（ ） ．．
A．若m??，???，则m?? B．若?∩?=m，?∩?=n，m∥n，则?∥?
C．若m??，m∥?，则??? D．若???，???，则???
【解析】C A中，直线m与平面α的位置关系各种可能都有；B中，平面α与β也可能相交；C中，∵m∥?，过m作平面γ交平面α于m′，则m∥m′. 又∵m??，∴m′??. 由面面垂直的判定定理可知，???；D中，平面β与γ也可能相交成或平行.
【说明】 本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.
12. (2007年福建卷第8题) 已知m，n为两条不同的直线，?，?为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．m??，n??，m∥?，n∥???∥?； B．?∥?，m??，n???m∥n C．m⊥?，m⊥n?n∥?； D．n∥m，n⊥??m⊥?
【解析】D 对于A，当m、n为两条平行直线时，可知A错误. 对于B，m、n两条直线可能为异面直线，对于C，直线n可能在平面α内.
【说明】 本题主要考查空间中线面位置关系.
13. (2007年福建卷第10题) 顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD?A?B?C?D?中，AB?1，AA??2，则A，C两点间的球面距离为（ ） A．
? ? B．
? ? C．
2? 4 D．
2? 2【解析】B 如下图所示， 设球的半径为R，则有R?心，
在△AOC中，AO=OC=1，AC=2，所以∠AOC=所以A、C两点间的球面距离为
?. 2?. 2(2)2?12?122?1，连结AC，连结AC′、A′C交于点O，则O为外接球的
【说明】 本题考查组合体的知识.
14.（2007年全国卷Ⅰ第16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．
略解：记题中等腰直角三角形为ABC，A为直角顶点，过A平行于底面的截面为α.
若B、C在α同侧（图1），易证∠ABC为锐角，不合题意；
若B、C在α异侧（图2），过点B作平行于底面的截面BPQ，依“等腰”易证CP=2AQ. 取BC中点G，BP中点H，连AG、GH、HQ，可证AGHQ为矩形，故BC=2AG=2HQ=23. 这个解法的关键是“猜”图，心算即可. 当然，图2中令AQ = x，CP = 2x，利用勾股定理得
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2?x2?22???2x??22求解也简单.
2C1A1B1MB
C
B
C ND22BCG
A P H A Q 图1 图2
A22P
只是从图形上看，似乎图1与图2没有本质的区别.这是因为作者没有注明哪个平面是α，所以看起来B、C都在平面α的同一边.若果然如此，分类就没有必要了.
在下关于这题的解法是：
【解析】延长MN、CB交于P，连AP.
第1，可证M为PN的中点.：作MD∥BC，交CC1于D.显然：△AMB≌△MND.故DN=BM=CD，即BM=
1CN是△PNC的中位线，∴M为PN的中点. 2第2，由AM是PN的垂直平分线可以推出△APN是等腰直角三角形. 以下由△ABP中BA=BP=2，ABP=120°，得AP?23，从而边AN?23.
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(10) 数学精英解“排列组合”题
2??1.(2007年湖北卷第1题) 如果?3x2? 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为
3?x??A.3 B.5 C.6 D.10
【解析】B 问题与两项式的系数无关，只关心展开后的x零次项即可. 令?x?2Pn?(x3)Q?P=3,Q=2,n=P+Q=5.
【说明】 “一望”后面的内容是考生心里想的，或在草纸上“乱画”的，是自己给自己“交流”的，阅卷人看不懂没有关系.
2.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ，则???0，?的概率是
2?????A.
1557 B. C. D.
261212,2,3,4,5,6.【解析】C a2b= |a||b|cosθ=m-n, ???0，?,即m-n≥0，即m≥n，但m,n?12?????若m?n，则
有6种可能；若m?n，则m?6,5,4,3,2时，n分别有5，4，3，2，1共15种选择方法.于是???0，?2?????的概率是p?6?157?. 6?6123.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一行，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
A．1440种 B.960种 C．720种 D.480种
52【解析】B 2位老人作一整体，插入5名志愿者的空档，有C1P，5名志愿者全排有P?425，所以有52C14?P22P5=960.
【说明】 特殊元素先排.
4.（2007年山东卷第12题）位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
21，质点P移动五次后位于点(2，（ ） 3)的概率是25?1??1?23?1?2?1?A．?? B．C5 D．C??? C．C3???55C5??
?2??2??2??2??1?2?1?2?1?【解析】B P=C5??????C5???
?2??2??2?【说明】 此题并不要求计算结果，为考生节省了宝贵的思考时间.
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23555数学精英解
5.(2007年全国卷Ⅱ第10题) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种
2【解析】B 完成这件事，可分二步完成，第一步从5个人中选出2人安排周五的活动，共有C5种选法；2第二步从剩余的3人中再选出两人安排参加剩余两天的活动，共有A3种选法。根据分步记数原理，共有2C52A3?60种选派方法，故选B.
【说明】 若排列数与组合数的意义混淆的，则易选错为D.
1??6. (2007年重庆卷第4题)若?x??展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
x??Ａ．10
Ｂ．20
rnＣ．30 Ｄ．120 【解析】B 由2n=64,得n=6,所以展开式的通项
Tr?1?rC6?x6?r?1?r????C6?x6?2r(0?x?6,r?N). 由6-2r=0,得r=3.T4=C36?20. ?x?【说明】 二项式定理的展开式通项及二项式系数之和的性质.
7.(2007年重庆卷第6题) 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） Ａ．
1 4Ｂ．
79 120 Ｃ．
3 4Ｄ．
23 243【解析】C 从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C10=120，而“至少有2张价格相同”则
包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即
2212133C5+C15?C3?C7?C2?C8?C5?C3?90（种）. 所以，所求概率为
903?. 1204
8.(2007年辽宁卷第9题) 一个坛子里有编号为1，2，?，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ） A．
1132 B． C． D． 221122112C62?C32C12【解析】D P（A）=
6?53?2?22?2. 【说明】 本题考查概率的有关知识. ?12?111122n9.(2007年福建卷第9题) 把1?(1?x)?(1?x)???(1?x)展开成关于x的多项式，其各项系数和为
an，则lim12an?1等于（ ） A．
n→?a?14n B．
1 2
C．1
D．2
【解析】D 令多项式中x=1得an=2n+1-1，所以lim2an?13???lim?2?n?1??2?.
n??an?1n???2?【说明】 本小题主要考查二项式定理以及数列、极限的有关知识.
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