第一章 数字信号处理基本概念
习 题
1-1 有一个连续信号xa(t)?cos(2?ft??)，式中f?20Hz，??（１） 求出xa(t)的周期；
?a(t)的表达式； （２） 用采样间隔T?0.02s对xa(t)进行采样，写出采样信号x?a(t)的时域离散信号（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。 （３） 画出对应x?2，
解：（1）xa(t)的周期是
Ta?1f?0.05s
??a(t)?（2）x?cos(2?fnTn?????)?(t?nT)
?n????cos(40?nT??)?(t?nT) ?x(n)0.950.591 3 5 60 2 4 （3）x(n)的数字频率为 ??0.8?，
2??52?周期N?5。
n?0.59?0.95 x(n)?cos(0.8?n??2)，画出其波形如题1-1图所示。 题1-1图 1-2 设xa(t)?sin(?t)，x(n)?xa(nTs)?sin(?nTs)，其中Ts为采样周期。
（1）xa(t)信号的模拟频率?为多少？ （2）?和?的关系是什么？
（3）当Ts?0.5s时，x(n)的数字频率?为多少？ 解：（1）xa(t)的模拟频率???rad/s。
（2）?和?的关系是：????Ts。 （3）当Ts?0.5s时，??0.5?rad。
1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）x(n)?Acos(?n?73?8)，A为常数；
1-1
第一章 数字信号处理基本概念
（2）x(n)?e解： （1）??（2）??18371j(n??)8。
?143?，
2?2??，这是有理数，因此是周期序列，周期是T?14；
，
??16?，这是无理数，因此是非周期序列。
1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列h(n)?anu(n)，0?a?1。
对于矩阵输入序列，
?1RN(n)???0,0?n?N?1,其他
求出输出序列，并用MATLAB计算，比较其结果。
分析：输入x(n)?RN(n)，线性时不变系统的输出等于输入序列与单位脉冲响应的卷
?积，用公式表示为y(n)?x(n)?h(n)??x(k)?h(n?k)
k???为了计算输出序列的第n个值，必须计算出乘积x(k)?h(n?k)，并将所得到的序列值相加。
?解：输出序列y(n)?x(n)?h(n)??x(k)?h(n?k)可以分成三种情况来求解：
k???（１） 当n?0时，由于h(n?k)和x(k)的非零取样互不重叠，因此y(n)?0。 （２） 当0?n?N?1时，从k?0到k?n，h(n?k)和x(k)的非零取样值有重叠，
?nk?0因此 y(n)??x(k)?h(n?k)??ak???n?k
?an1?a?n?1?1?1?an?11?a1?a
（３） 当n?N?1时，h(n?k)和x(k)重叠的非零取样值从k?0到k?N?1，因此
N?1N?1k?0y(n)??x(k)?h(n?k)??ak?0n?k
?an1?a?N?1?(1?an1?a1?a)an?N?1
??0?n?11?a?所以 y(n)??1?a??n?N?11?an()?a1?a?1-2
,,,n?00?n?N?1 N?1?n第一章 数字信号处理基本概念
利用MATLAB求其响应,程序如下： a=1/2; N=20; n=0:N-1; c=[1]; d=[1 -a]; x=ones(1,N); y=filter(c,d,x); stem(n,y); ylabel('y(n)');
题1-4图 输出相应序列y(n)
1-5 设x(n)?anu(n)，h(n)?bnu(n)?abn?1u(n?1)，求y(n)?x(n)?h(n)。 解： X(z)?z，z?a z?azaz?a，z?b H(z)???z?bz?bz?bzz?b所以， Y(z)?X(z)H(z)?其Z反变换为
y(n)?x(n)?h(n)??，z?b
?1[Y(z)]?bu(n)
n显然，在z?a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，如果b?a，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大。
1-6 求下列序列的Z变换及其收敛域，并用MATLAB画出零极点示意图。
1-3
第一章 数字信号处理基本概念
（１）双边指数序列x(n)?an，0?a?1；
（２）正弦调制序列x(n)?Arncos(?0n??)u(n)，0?r?1。 解：（1）双边指数序列可写为
?a?nx(n)??n?a,n?0,n?0
其Z变换为
??1nX(z)??an?0z?n??n???a?nz?n?11?az?1???an?1nnz
?11?azn?1???an?0nz?1?n11?az?1?11?az?1?z(1?a)(1?az)(z?a)2
x(n)?a，0?a?1是一个双边序列，其收敛域为a?z?1a表示极点，极点为
z?a，1a，零点为z?0。其极点、零点图如图所示，图中?表示极点，○表示零点。利用MATLAB画出其零极点，如题1-6图(a)所示： a=3; y=1-a*a;
b=[0 y 0]; a=[-a y -a]; zplane(b,a);
题1-6图(a) 零极点图
ej(?0n??)?e?j(?0n??)u(n)， 0?r?1 （2）x(n)?Arcos(?0n??)u(n)?Ar2nn1-4
第一章 数字信号处理基本概念
我们将其分解为标准的指数序列形式，然后根据Z变换的求和定义式求得其对应的Z变换、收敛域并画出零极点图。 其Z变换为
??1X(z)??n?0Arcos(?0n??)zn?n?A?n???rnej(?0n??)?e2?j(?0n??)z?n
?A2ej?1(1?rej?0z)?1?A2ej?1(1?re0?j?0z)?1?Acos??Arz1?2rz?1?1cos(?0??)2?2cos?0?rz
收敛区域为z?r，极点为z?rej?，re?j?0，零点为z?0，rcos(?0??)cos?。 其对应的零极点图如题1-6图所示。
利用MATLAB画出其零极点,如题1-6图(b)所示： A=1; r=1;
w0=4*pi; w=2*pi;
x=2*r*cos(w0); y=A*r*cos(w0-w); b=[A*cos(w) -y ]; a=[1 -x r*r]; zplane(b,a);
题1-6图(b) 零极点图
讨论 通常将正弦序列信号展开为两个基本复指数序列和或差的形式，然后按照Z变换定义式求起对应的Z变换和收敛域。对于Z变换表达式可表示为等比级数和的形式的序列，其Z变换的收敛域是保证等比小于1，如本例中要保证q?z?1rej?0?1，可
1-5