31.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。
ADACCD2FDFD==== 由于， ABAEBE2BGBG 由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。
又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。
32.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。 从而可得PQ=
EG+FH。 2AI+BIAB= ，从而得证。 2233.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。
34.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH，
可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，
又∠FAE=900+450+150=1500，
从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。
35.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠EPF=
XZ=，可得YZ=XY-X2+XZ， YY-X+Z 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF ，得证 。
37顺时针旋转△ABP 60 ，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。 可得△PQC是直角三角形。 所以∠APB=1500 。
0
38.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
39.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：
BEAD =，即AD?BC=BE?AC， ①
BCAC 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得
ABDE=，即AB?CD=DE?AC， ② ACDC 由①+②可得: AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。
40.过D作AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由S
ADE=
SABCD2=SDFC，可得：
AEPQAEPQ=，由AE=FC。 22 可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。
41.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小L=
；
（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP，
推出AD>AP ① 又BP+DP>BP ② 和PF+FC>PC ③ 又DF=AF ④
由①②③④可得：最大L< 2 ； 由（1）和（2）既得：
≤L＜2 。