高中数学竞赛教程 - - 平面几何

∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK,

∴DO丄IE,即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心,OI丄DE. 由∠DIE=∠IDO,易知OI=DE.

例14.锐角△ABC中,O,G,H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外,重心

到三边距离和为d重,垂心到三边距离和为d垂.

A求证:1·d垂+2·d外=3·d重.

分析:这里用三角法.设△ABC外接圆半径为1,三个内角记为A,B, H3G3O2C. 易知d外=OO1+OO2+OO3 O3G2=cosA+cosB+cosC, H2OGI ∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①

BCO1G1H1 ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC, 同样可得BH2·CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ②

BH ∴=2,

sin?BCH ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2,HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论,观察①、②、③,

须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.

练 习 题

1.I为△ABC之内心,射线AI,BI,CI交△ABC外接圆于A′,B′,C ′.则AA′+BB′+CC′

>△ABC周长.

2.△T′的三边分别等于△T的三条中线,且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989,捷克数学奥林匹克)

3.I为△ABC的内心.取△IBC,△ICA,△IAB的外心O1,O2,O3.求证:△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988,美国数学奥林匹克)

4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC,△ABD,△ADC的外心O,O1,O2.则△OO1O2是等腰三角形.

5.△ABC中∠C<90°,从AB上M点作CA,CB的垂线MP,MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时,求H的轨迹.(IMO-7)

16.△ABC的边BC=(AB+AC),取AB,AC中点M,N,G为重心,I为内心.试证:过A,M,

2N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)

7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1,H2,H3.已知:H1,H2,H3,求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)

8.已知△ABC的三个旁心为I1,I2,I3.求证:△I1I2I3是锐角三角形.

9.AB,AC切⊙O于B,C,过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证:(1)△AEF与△ABC有公共的内心;(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.

Wisdom&Love 第 21 页(共21页)

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