第二章 分形理论
2.1分形理论及概念
欧氏几何中，主要以规整几何图形作为其研究对象，所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、线、面、体。这些点、直线、平面图形、空间图形的维数（欧氏维数）分别为0，1，2，3。对规整几何的测量是以长度L为基础的，可以用下式来表示 长度=L
面积=aL2 （2-1） 体积=bL3
长度、面积、体积的量纲分别是长度单位L的1、2、3次方，它们恰好是这些几何图形存在空间的欧氏维数，而且均为整数。
1919年，波恩大学数学家豪斯道夫（Felix Hausdorff）从测量的角度引入Hausdorff维数的定义。从以上的长度、面积、体积的比例性质我们知道，当l比例放大λ倍时，曲线的长度放大λ倍，平面区域的面积放大λ
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倍，三维物体的体积放大λ
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倍，从
Hausdorff测度上说，s维Hausdorff测度放大λs倍。
2.1.1分形的定义及性质[25]
分形的英文单词Fractal来自拉丁文的Fractus，由Mandelbrot于1975年引入。 Mandelbrot在1982年给出了第一个分形的定义：
定义1：如果一个集合的欧氏空间中的Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT，即
DH>DT （2-2） 则称该集合为分形集，简称分形。
这个定义说明，我们要判断一个集合是不是分形，只要计算集合的Hausdorff维数和拓扑维数，然后用上式做出判断即可。但在实际应用中，一个集合的Hausdorff测度和Hausdorff维数的计算是比较复杂和困难的。 四年后，他又提出了一个实用的定义：
定义2：组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。
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这一定义突出了分形的自相似性，反映了自然界中广泛存在一类物质的基本属性：局部与局部，局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性。这里所说的“自相似性”与欧氏几何学中的“自相似性”是两个不同的概念。
1990年Edgar给出了一个分形的粗略定义：
定义3：分形集就是比在经典集合考虑的集合更不规则的集合。这个集合无论被放大多少倍，越来越小的细节仍能看到。
虽然还有其它的一些关于分形的定义，但迄今为止对分形尚未有严密的定义，对分形给予严密的定义还为时过早。一般地，称集F是分形，即认为它具有下述典型的性质：
（1） F具有精细的结构，即有任意小比例的细节。
（2） F是如此的不规则，以致于它的整体与局部都不能用传统的几何语言描述。 （3） F通常有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的。 （4） F的“分形维数”（以某种方式定义的）一般大于它的拓扑维数。 （5） 在大多数情形下，F可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生。 2.1.2分形空间
定义dim A为集合A的Hausdorff维数。让{X,d}为具有度量d的完备度量空间，由H(X)表示X的完备子集空间。定义d(A, B)为集合A∈X和B∈X之间的距离，
d(A,B)=max min d(x,y) 2-3） 则具有Hausdorff测度的集合H(X)的空间为
h(A, B)=max{d(A,B),d(B,A)}, A,B∈H(X) （2-4） 完备测度空间，称之为分形空间[18]。 2.1.3无标度区间
正如前面所讨论的，分形曲线,曲线的某些性质如复杂程度、非规则性等，不随尺度的缩小而改变，这就是所谓的无标度性。分形分为两类，一类是严格意义上的分形，它是由简单的迭代或者是按一定规律生成，理论上其无标度性可以在无穷范围内存在，如科契曲线，谢尔宾斯基海绵等。还有一类分形，它是随机产生，分形只能在统
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计意义上存在，有一定的存在范围，称为无规分形，自然界中存在的分形大部分属于无规分形。对于这类分形，其自相似性存在的范围即无标度区间。如图所示，在A—B区间内，可视为分形，超出这一区间，自相似性便不复存在。 lnN(R) B A
R1 R2 lnR 图2-1 分形中的无标度区间
Fig 2-1 scaling range of fractal
2.2分形维数及测量方法
在分形研究中，对分形维数有不少定义，因为要找到一个对任何事物都适用的定义并不容易。由于测定维数的对象不同，就某一分形维数而言，对有些对象可以适用，而对另一些就可能完全不适用。严格地说，对不同定义的维数应使用不同的名称以把它们区分开来。由于分形理论正处于继续发展阶段，因而往往笼统地把取非整数值的维数统称为分形维数[19]。 2.2.1长度的测量及分数维的提出 测量一单位线段，如果选尺子长度λ=1，则测量次数N=1，得出长度L=N*λ=1; λ=1,N=1,L=1 λ=2,N=1/2,L=1 lnL λ=5,N=1/5,L=1 lnλ (a) (b) 图2-2 单位直线段与测量长度关系 Fig 2-2 the relation between the length and scale of a line
当选λ=1/2，则N=2，仍有L=1，类似让λ越来越小，则N越来越大，但总长度L不随测量尺度而变化，见图2-2(a)，即L为一不变量。
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将不同测量长度λ和测量长度L画成双对数图，将得到一条水平直线，见图2.1(b)，斜率S=0。斜率与维数的关系是S=1-D，因而D=1。
然而许多自然物体图形是不规则的，粗糙的，并不存在以上的简单测量关系。如，量测挪威海岸线长度(见图2-3)。当选大的λ(码尺)去度量该海岸线时，很多的港湾和峡谷就被忽略掉，当选小的码尺λ去测量时，小的港湾和峡谷被忽略。由于海水的长年冲击，海岸线相当的不规则，相当的弯折。无论码尺多小，总有一些细节量不到[18]。因此码尺越小，量测的长度越大。L = N·λ≠Constant。图2-4给出Feder量测的海岸线长度L和λ的双对数图，这时斜率S≠0。事实上，量测的长度可以近似地表示为：
L(λ)=L0λ
1-D
（2-5）
式中L。为常数。对于挪威海岸线D = 1.5。事实上，上式表达的曲线在数学上确实具有分形的性质。一般地，对于分形曲线D>1，则
limitL(?)?L0limit???0??0??D?? （2-6）
·
· 4.5 10 L (λ) (km) · log
· 4.0 · · 3.5 D=1.52+0.0.1 · 3.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 log10(λ(km))
图2-3 挪威海岸线 图2-4 挪威海岸线长度与测量尺度变化关系
Fig 2-3 coastline of Norway Fig 2-4 the relation between the length of Norway’s
coastline and it’s scale
表明曲线的长度随尺码趋于零而趋于?。如λ并不趋于零，则
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???L(?)?L0(1?D)??D?0 （2-7）
表明L(?)随码尺λ的减小而增大。
几何上，分维D刻画了曲线的“粗糙”程度，D越大，曲线越弯折，越不规则。D越小，曲线越光滑，越规则。也就是说分维数D能定量地表征曲线的不规则程度（如图2-5）[17]
图2-5 D刻划了曲线的不规则程度
Fig 2-5 dimension signs how irregular the curve is
2.2.2分形维数概述[20]
图形的维数和测度是其基本不变量。在传统的几何观念中，图形的维数总是自然数，而零测度点是很稀疏的点集。然而，自Cantor起，数学家们就不断发现一些奇怪的几何体，用测度或整数维不足以描述其特征。 在描述混沌吸引子方面，经常使用以下几种维数。 （1）自相似维数Ds
众所周知，一直线段的欧氏维数是1。让一直线段的长度为X，并分成N=b个等长的小线段。每一小线段就是区间
(k一1)X/b?x?kX/b, k=1,2,?，b
显然每一小段是整个直线段的比例缩小，这个比例称为相似比;，并可得到r=1/b=l/N。再考虑二维的具有长宽分别为X和Y的平面，类似地分成N=b2个小方块，这些小方块相似整个平面，并可表述为:
(k一1)X/b?x 13