第4课时 直线与平面的位置关系
一、填空题
1．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________． 答案：7部分
2．已知l、m是空间两条不同直线，α、β是空间两个不同平面，给出下列四个条件： ①平面α、β都垂直于平面γ；
②平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等； ③l、m是平面α内两条直线，且l∥β，m∥β；
④l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.其中可判断平面α与平面β平 行的条件是________．(写出所有正确条件的序号)
解析：①当α、β、γ如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直，∴不正确； ②当α、β相交，α内两条平行于交线且关于交线对称的直线上所有点到面β的距离相 等，∴不正确；
③当α、β的交线与m、l都平行时，满足l∥β，m∥β，∴不正确；
④l、m为两异面直线，则可以平移一条直线使其两直线相交得到一平面γ，l∥α，m∥α， 可以得γ∥α，同理可得γ∥β.γ∥α，γ∥β得到α∥β，故④正确． 答案：④
3．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，且EFGH 为菱形，若AC＝m，BD＝n，则AE∶BE＝________.
解析：如图，∵EF∥GH，∴EF∥平面ACD. ∴EF∥AC.∴
.∵AC=m，∴
，①
BDABnAB同理，EH＝AE.∵BD＝n，∴EH＝AE. nAB
又EF＝EH，∴EF＝AE.② AEm
由①②得BE＝n. m答案：
n
4．(江苏启东中学高三质量检测)设α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线， 给出下列四个命题：①若m⊥α，n?α，则m⊥n；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β， 则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n， 则n∥β.其中所有正确命题的序号是________．
解析：①因为m⊥α，n?α，所以m⊥n正确．②当直线m，n相交时，α∥β，当m、 n平行时，α与β不一定平行，故错误．③正确．④n可能在平面β内，故不正确． 答案：①③ 5.
如图，AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在 的平面，则BC和PC .
解析：∵PA⊥平面ABC，而BC?面ABC，∴PA⊥BC. 又∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC=A，∴BC⊥面PAC，且PC?面PAC. ∴BC⊥PC，即BC和PC垂直． 答案：垂直
6．PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝ 10，则PO的长等于________．
解析：∵PA＝PB＝PC，∴P在平面ABC内的射影O为△ABC的外心．又△ABC为直 角三角形，
∴O为斜边BA的中点．在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴PO＝ AB?2
PC2－??2?＝53. 答案：53
7．(苏州市高三教学调研测试)如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)， 直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：
①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC. 其中正确的命题是 . (填上所有正确命题的序号)
解析：因为PA?平面MOB，不可能PA∥平面MOB，故①错误；因为M、O分别为 PB，AB的中点，所以MO∥PA，得MO∥面PAC，故②正确．又圆的直径可知BC ⊥AC，又PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，在空间过一点有且 只有一条直线与已知平面垂直，所以OC不可能与平面PAC垂直，故③错误；由③可 知BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故④正确． 答案： ②④ 二、解答题 8.
(2010·金陵中学上学期期中卷)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面 ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4(单位：cm)， E为PA的中点．
(1)证明：DE∥平面PBC； (2)证明：DE⊥平面PAB.
证明：(1)设PB的中点为F，连接EF、CF，EF∥AB，所以EF∥DC， 1
且EF＝DC＝AB，
2
故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF.ED?平面PBC，CF?平面PBC， 故DE∥平面PBC.
(2)PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PD，
又因为AB⊥AD，PD∩AD=D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD.