第二章 解析几何初步
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．
1．圆的方程
(1)圆的标准方程：________________________. (2)圆的一般方程：________________________. 2．点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)＋(y－b)＝r. (1)(x0－a)＋(y0－b)>r?点P________.
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(2)(x0－a)＋(y0－b) 2 2 2 (3)(x0－a)＋(y0－b)＝r?点P________. 2 2 2 3．直线与圆的位置关系 设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d____r→相离；d____r→相切； d____r→相交． 4．圆与圆的位置关系 设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则 位置关系 图示 相离 外切 相交 内切 内含 d与r1，r2的关系 5.求圆的方程时常用的四个几何性质 d＝r1＋r2 d>r1＋r2 |r1－r2| 6．与圆有关的最值问题的常见类型 (1)形如μ＝ y－b形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． x－a (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题． 7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式 |AB|＝1＋k|xA－xB| ＝ 1＋k2 22 2 [xA＋xB2 －4xAxB]. 注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 8．空间中两点的距离公式 空间中点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝________________________. 类型一 求圆的方程 例1 根据条件求下列圆的方程． (1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程； (2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程． 反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： 第一步：选择圆的方程的某一形式． 第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)． 第三步：解出a，b，r(或D，E，F)． 第四步：代入圆的方程． 注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经 过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等． 跟踪训练1 如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为________． 类型二 直线与圆的位置关系 例2 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)＋(y－2)＝4. (1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值； (3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值． 反思与感悟 当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式 2 2 Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长． (2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2r－d. 解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线． 跟踪训练2 已知点P(0,5)及圆C：x＋y＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； (2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程． 2 2 22 类型三 圆与圆的位置关系 例3 已知两圆x＋y－2x－6y－1＝0和x＋y－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 跟踪训练3 已知两个圆C1：x＋y＝4，C2：x＋y－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程． 类型四 数形结合思想的应用 例4 曲线y＝1＋4－x与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( ) 5 A．(0，) 1213C．(，] 34 5 B．(，＋∞) 1253D．(，] 124 22 2 2 2 2 2 2 2 反思与感悟 数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题． 跟踪训练4 已知实数x、y满足方程x＋y－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________． 2 2 yx 5222 1．若方程x＋y＋ax＋2ay＋a＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( ) 42 A．a＜－2或a＞ 3C．a＞1 2 B．－＜a＜2 3D．a＜1 2．以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( ) A．(x－3)＋(y＋4)＝16 B．(x＋3)＋(y－4)＝16 C．(x－3)＋(y＋4)＝9 D．(x＋3)＋(y－4)＝9 3．过点P(－3，－1)的直线l与圆x＋y＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( ) A．0°＜α≤30° C．0°≤α≤30° 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B．0°＜α≤60° D．0°≤α≤60° 2 2 4．两圆x＋y－6x＋16y－48＝0与x＋y＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为( ) A．4 C．2 2 B．3 D．1 2 5．已知直线x－my＋3＝0和圆x＋y－6x＋5＝0. (1)当直线与圆相切时，求实数m的值； 210 (2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值． 5