初中数学竞赛精品标准教程及练习（40）
线段、角的和差倍分
一、内容提要
证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。
转化为证明相等的一般方法㈠通过作图转化
要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等
要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等㈡应用有关定理转化
三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半直角三角形斜边中线等于斜边的一半
直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍
三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1有关比例线段定理用代数恒等式的证明
由左证到右或由右证到左
左右两边分别化简为同一个第三式证明左边减去右边的差为零
由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论
二、例题
例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高
求证：DC＝AB＋BD
分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。
为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF＝AB，连结AF，则可得
∠ABD＝2∠F＝2∠C。
一1.2.1.2.3.4.5.6.7.二1.2.3.4.例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N
求证：AH＝2MO， BH＝2NO
AGEHON（一）证明一：（加倍法――作出OM，ON的2倍）连结并延长CO到G使OG＝CO连结AG，BG则BG∥OM，BG＝2MO，AG∥ON，AG＝2NO∴四边形AGBH是平行四边形，∴AH＝BG＝2MO，BH＝AG＝2NO
证明二：（折半法――作出AH，BH的一半）分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN
AFGEN（二）1则FG＝MN＝AB，FG∥MN∥AB
2HOBDMC又∵OM∥AD，
∴∠OMN＝∠HGF（两边分别平行的两锐角相等）同理∠ONM＝∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3. 已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE＝AD＋AE，F是AB的中点 求证：∠DCE＝2∠BCF
分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE＝AD＋AE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。
我们可将AE（它的等量DG）加在正方形边CD的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD（它的等量AG）加在AE的延长线上（如右图）后一种想法更容易些。
辅助线如图，证明（略）自己完成
例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于I，
求证：∠BIC＝90＋
?1∠A 2?证明一：（由左到右）
∠BIC＝180－（∠1＋∠2）＝180－
1（∠ABC＋∠ACB） 211?＝180－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＋∠A
22A1?＝90＋∠A
2?证明二：（左边－右边＝0） F E I1? ∠BIC－（90＋∠A）
211??＝180－（∠ABC＋∠ACB）－90－∠A
221?＝90－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＝……
2 证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形）
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180 ∴∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB）
??B12C11?∠A＝90－（∠ABC＋∠ACB） 22111???90＋∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB），即∠BIC＝90＋∠A
222三、练习40
1. △ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分线，求证：AC＝AB＋BD 2. △ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，M是BC的中点，则AB＝2DM
3. △ABC中，∠B的平分线和∠C的外角平分线交于E，则∠A＝2∠E
4. △ABC的AB＝AC，CD是中线，延长AB到E使BE＝AB，连结EC，则CE＝2CD 5. 已知：等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BD是角平分线
求证：BC＝AB＋AD
6. 已知：△ABC中，AB＜AC，AD是高，AE是角平分线
求证 ：∠DAE＝
1（∠B＋∠C） 27. 已知：△ABC中，AB＝AC，点D在AC的延长线上，
求证：∠CBD＝
1（∠ABD－∠D） 28. 已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE延长线交AC于F
求证：BF＝4EF
9. 已知：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分∠DAE，交CD于F
求证：AE＝BE＋DF
10. 在△ABC中，∠BAC＝Rt∠，BC的中垂线MN交AB于M，交BC于N，角平分线AD延长线交MN
于E，则BC＝2NE
（1987年泉州市双基赛题）
11. 以Rt△ABC两直角边AC，BC为边向形外作正方形ACDE和BCFG，分别过E，G作斜边AB所在直
，，，，
线的垂线段EE，GG则AB＝EE＋GG
12. 已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分线EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB延长线于G，
求证：FD＝
1CG （提示：以CE为轴作△CEG的对称三角形） 4?13. 已知：△ABC中，∠A＝100，AB＝AC，BD是角平分线
求证：BC＝BD＋AD
14. 已知：正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交BD于F，O是对角线的交点
求证：CE＝2FO
15. 已知：如图AC，BD都垂直于AB，且CD交AB于E，CE＝2AD
求证：∠ADE＝2∠BDE
16. 已知：△ABC中，AB＜AC＜BC，点D在BC上，点E在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，△BDE
的外接圆和△ABC的外接圆交于点F 求证：BF＝AF＋FC
（提示：在BF上取BG＝CF）
（15） （16） 练习40参考答案：
1. 以AD轴作轴对称三角形
2. 取AB中点N，再证明DN＝DM
3. 利用外角性质，分别用两角差表示∠A和∠E 4. 有多种证明方法，注意三角形中位线性质
6. ∠B＋（∠BAE－∠DAE）＝90， ∠C＋（∠EAC＋∠DAE）＝90 7. ∠ABC＝ ∠ACB＝∠D＋∠CBD，两边同加上∠CBD 10 .作高AH
12 延长GE交AC于M，则E是GM的中点，作EP∥BC交AC于P，则EP被AD平分 5. 在BC上取BE＝BD，则△EDC等腰，作DF∥BC交AB于F，可证△ECD≌△ADF 16. 在BF上截取BG＝FC，△BGE≌△CFA，再证GE＝GF