根据平衡条件,即稳定结合时
求得 则可以求得每一摩尔氢分子晶体的结合能为
计算中没有考虑零点能的量子修正,这是造成理论和实验值之间巨大差别的原因。
是1.5的图 是3.2的图
是3.3的图
3.2 讨论N 个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a),其2N 个格波解,当M = m时与一维单原子链的结果一一对应。
解:如图所示,质量为M 的原子位于2n ?1, 2n +1, 2n + 3?? 质量为m 的原子位于2n, 2n +
2,2n + …. 牛顿运动方程为
每个原胞有两个,共有2N 个形式相同的独立方程。形式解为:
代回运动方程有
这是一个以 A 、B 为未知量的齐次线性方程组,有解的条件是系数行列式为零
有两组不同的解:
q 的取值范围是:对应于每个 q 值,有两个格波,共计2N 个格波。
当M = m时,两组解变为
初看似乎仍为双值函数,
但是由于原来取布里渊区为为实际区域大小的一半,所以
当我们把布里渊区扩展为时,就不必用双值表示了,变为
这时当然就没有光学波了
3.3 考虑一双原子链的晶格振动,链上最近邻原子间力常数交替为c 和10c 。令两种原子质量相同,且最近邻间距为a / 2。求在k = 0和k =π / a处的ω(k)。大略地画出色散关系。此问题模拟如2 H 这样的双原子分子晶体。
解:可以这样考虑这个问题, H2分子组成一维晶体,分子内部的相互作用较强,力常数为 10c ,相邻的原子间作用较弱,力常数为c ,第s 个分子中的两个原子的位移分别用
表示:
将试探解
代入上式 有
是u ,ν 的线性齐次方程组,存在非零解的条件为
当k = 0时,
当k =π / a 时
ω2与k 的关系如下图所示,这是一个双原子(例如2 H )晶体。令
3.6 求出一维单原子链的频率分布函数。 解:设单原子链长度 L = Na
频率分布函数