第五节 椭圆
课时作业 A组——基础对点练
y2
1．已知椭圆＋2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )
25mA．2 B．3 C．4 D．9 解析：由4＝25－m(m>0)?m＝3，故选B. 答案：B
2．方程kx＋4y＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( ) A．k>4 C．k<4
2
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x2
B．k＝4 D．0 x2y2 解析：方程kx＋4y＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，即方程＋＝1表示焦点在x轴上的 4k椭圆，可得0 12 3．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y＝－4x的焦点重合， 2则此椭圆方程为( ) A.＋＝1 43C.＋y＝1 2 x2y2x2 B．＋＝1 86D．＋y＝1 4 x2y2x2 22 x2y2 解析：依题意，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－ abc1x2y2222 1,0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b＝a－c＝3，所以椭圆方程为＋＝ a243 1，故选A. 答案：A x2y2 4．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|， ab|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) 1A. 21C. 4 B．5 5 D．5－2 c1 解析：由题意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝＝. a2 1 答案：A π 5．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭4圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) 1A. 2C．1 B．2 2 D．2 解析：如图，假设F1，F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝π 2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，4 π222 则在△PF1F2中，由余弦定理得，4c＝(a1＋a2)＋(a1－a2)－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，化简 42－2222 得，(2－2)a1＋(2＋2)a2＝4c，设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，∴2＋ e1 2＋2 e∴ 22 2－22＋2 ＝4，又2＋≥2 2e1e2 2－22＋222 ·＝， e2e2e1·e212 2222 ≤4，即e1·e2≥，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.故选B. e1·e222 答案：B 6．若x＋ky＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________． 解析：将椭圆的方程化为标准形式得＋＝1，因为x＋ky＝2表示焦点在y轴上的椭圆， 22 2 2 y2x2k22 2 所以>2，解得0 k答案：(0,1) 7．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________. 10－aa－2解析：由题可知c＝2.①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝2，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝2，解得a＝8.故实数a＝4或8. 答案：4或8 2 2 x2y2 x2y21 8．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B.C为椭圆上异于长轴端点 ab3 sin A＋sin B的任意一点，则在△ABC中，的值等于________． sin C 2 sin A＋sin B|CB|＋|CA| 解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由 sin C|AB|sin A＋sin B2a1 椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3. sin C2ce答案：3 x2y2 9．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作垂直于 abx轴的直线l交椭圆C于A，B两点，满足|AF2|＝(1)求椭圆C的离心率； (2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP， 3c. 6 NP分别和x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点．若|OR|·|OQ|＝4，求椭圆C的方程． 解析：(1)∵点A的横坐标为c， →→ c2y2 代入椭圆，得2＋2＝1. abb2b23 解得|y|＝＝|AF2|，即＝c， aa6 ∴a－c＝∴e＋ 22 2 3ac. 6 33e－1＝0，解得e＝. 62 (2)设M(0，b)，N(0，－b)，P(x0，y0)， 则直线MP的方程为y＝ y0－bx＋b. x0 bx0 . b－y0 令y＝0，得点R的横坐标为直线NP的方程为y＝ y0＋bx－b. x0 bx0 . b＋y0 22 22 令y＝0，得点Q的横坐标为 22 →→?bx0??ab－ay0?222 ∴|OR|·|OQ|＝?22?＝?22?＝a＝4，∴c＝3，b＝1， ?b－y0??b－y0?∴椭圆C的方程为＋y＝1. 4 x2 2 x2y21 10．(2018·沈阳模拟)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，其中e＝，焦距为2，过点M(4,0)的直 ab2 4→→ 线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间．又线段AB的中点的横坐标为，且AM＝λMB. 7 3