第2章 微分和微分法·导数的简单应用
经典微积分大致分为微分学和积分学两大部分.微分学中两个最基本的概念就是函数的微分和导数，而求函数微分或导数的方法称为微分法.微分法是微分学中最基本的运算方法.
§2-1 微分和导数
函数的微分和导数就像是一对儿“双胞胎”，是同时存在的，而且两者有密切的关系.自柯西以来，几乎所有的教科书中都是先讲导数，后讲微分.许多学生学完微积分后，熟悉导数却不熟悉微分.实际上，微分运算和导数运算是平行的，即每一个微分运算都对应于一个相当的导数运算，反过来也是如此.本书将把函数的可微性作为起始概念，并同时导出函数的微分和导数这两个概念，以便能够体现出它们两者之间的“孪生兄弟”关系.
1.从例子说起(函数局部线性化) 假若函数y?y(x)随自变量x的变化是均匀的，譬如函数y?kx?b. 用?x?x?x0表示自变量x在点x0的增量，则函数y?kx?b 的增量为
?y?[k?(x0??x)?b]?[kx0?b]?k??x (图2-1)
显然，?y与自变量增量?x成正比，即函数增量?y是关于自变量增量?x的线性函数.
y y?x2 (x0??x)2 y y?kx?b
(?x)2 ?y ?y?k??x
2 xx20?x 0 O Δx x x0 x0+Δx 图2-1
x O x0x0??x图
2-2
可是，另有些函数，例如函数y?x2(图2-2)在点x0(相应于自变量增量?x)的增量为
?y?(x20??x)2?x0?2x0?x?(?x)2
显然，函数y?x2在点x0近旁的变化不是均匀的，即?y与?x不成正比.但是，?y能够被分离出一部分2x0?x，它与?x成正比；而余下的部分(?x)2与?x相比较，当?x?0时，
是高阶无穷小量，即(?x)2?o(?x)(?x?0).于是，函数y?x2在点x0的增量就可表示成
?y?2x0?x?o(?x)(?x?0)
§2-1 微分和导数
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我们将把“与?x成正比”或“关于?x为线性”的那一部分2x0?x，称为函数y?x在点x0的微分；而把比例系数2x0称为函数y?x在点x0的导数.与一次函数y?kx?b不同，函数y?x在点x0的微分和导数都与点x0有关.不过，两者的微分都是关于自变量增量的线性函数.
2.可微· 微分和导数 一般情形下，设有函数y?y(x)定义在区间a,b上.当自变量
22x在点x0?a,b有增量?x?x?x0(?x?0或?x?0)时，函数y?y(x)就会相应地有增
量
?y?y(x0??x)?y(x0) (图2-3)
其中记号“?y”作为一个整体，将表示?x的函数.确切地说，应当把?y记成(?y)(x0,?x)，而?y就像一个函数记号(?x是自变量).
y(x0??x)y y?y(x)
y(x0)?y O x0 x0+Δx x 图2-3
?x ⑴ 自变量x的增量?x称为自变量x的微分，记成dx； ⑵ 若有与?x无关的常数k?k(x0)，使
?y?k?x?o(?x) (2-1)
其中
o(?x)?y?k?x?lim?0
?x?0?x?x?0?x则称函数y?y(x)在点x0为可微分；并称k?x为函数y?y(x)在点x0的微分，记成dy|x?xlim①
0或dy(x0)；其中k?k(x0)关于x0是唯一的，称它为函数y?y(x)在点x0的导数，记成y?(x)x?x或y?(x0).因此，微分dy(x0)?y?(x0)?x?y?(x0)dx.
0①根据式（2-1），关于x0是唯一的.
?yo(?x)?y?k??k.根据极限的基本性质1，于是lim（见§1-5），所以k?k(x0)?x?0?x?x?x注意，当把?x?dx看成有限量时，微分是有限量；而在极限过程?x?0中，微分又是无穷小量.因此, 为了能够满意地解释微积分中的一些记号和运算, 我们把微分既看成有限量, 又看成无穷小量.这就像物理学中关于光的“两象性”解释(“粒子说”和“波动说”)一样.
根据本节开始的讨论，一次函数y?kx?b和二次函数y?x2在任意点x0?(??,??)都可微分，且
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第2章 微分和微分法·导数的简单应用
（微分）d(kx?b)x?x?kdx, （导数）(kx?b)?0x?x0?k;
（微分）d(x2)x?x0?2x0dx, （导数）(x2)?x?x?2x0.
0特别，对于常值函数y(x)?c(???x???)，因为?y?0，所以dc?0，c??0.
上述导数记号y?(x0)是后来的法国数学家拉格朗日(Lagrange, 1736—1813)引用的，而莱布尼茨当初把函数y?y(x)在点x0的的导数记成
dy(x0). 这样，按照莱布尼茨的说法， dx（*）
导数就是函数的微分除以自变量微分的商 (简称微商)
若函数y?y(x)在点x0可微分，根据式(2-1)，则有
?x?0.
lim?y?0 或 limy(x0??x)?y(x0)
?x?0即函数y?y(x)在点x0连续.这说明：函数连续是函数可微分的必要条件；或者说，函数可微分是函数连续的充分条件.
在以下的例子中，注意（而把x暂时看成常量，就像上面的x0）. ．．．．．．．．．?x是自变量．．．．
例1 函数y?xn(n为正整数)的可微性 当自变量在任意点x?(??,??)有一个无穷小增量?x时，函数y?x在点x的增量为
nn(n?1)n?2?x(?x)2? ?y?(x??x)n?xn??xn?nxn?1(?x)?2???(?x)n??xn
??n(n?1)n?2?x(?x)2??(?x)n??nxn?1?x?o(?x) ?nxn?1?x???2? [方括号内为o(?x)]
因此，根据定义[即式(2-1)]，函数y?x在任意点x?(??,??)可微分且微分为
nd(xn)?nxn?1dx（其中dx??x）
而函数y?x在点x?(??,??)的导数为(xn)??nxn?1.
例2 函数y?sinx和y?cosx的可微性 对于任意点x?(??,??)，设有增量?x，则函数的增量为
n?y?sin(x??x)?sinx?2cos2x??x?xsin 22其中，当?x?0时，根据定理1-1（因为cosx是连续函数），则有
cos2x??x?x???cos?x???cosx?o(1) 22??又根据sinx?x(x?0)，则sin?x?x?(?x?0)，于是有 22 （*）
可见，莱布尼茨当初把函数的微分作为起始概念，而导数是从属概念。
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