第六章 微分方程与差分方程
一、知识网络图
二、内容与要求
1．了解常微分方程及其阶、解、通解、初始条件、特解等概念．
2．能正确判断一阶微分方程的类型，熟练掌握可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程的解法．
3．能用降阶法解特殊类型的高阶微分方程（包括 的解法）．
4．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法． 5．理解二阶线性方程的通解结构，掌握自由项形如系数非齐次线微分性方程的解法．
6．会对一些简单的经济、几何等问题建立微分方程模型并求解． 7．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念． 8．掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法．
9．会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题．
重点 微分方程与差分方程的概念；可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程的解法；一阶常系数线性差分方程的解法．
难点 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解；一阶常系数非齐次线性差分方程的求解；微分方程与差分方程的应用．
的二阶常
，
，
三、概念、定理的理解与典型错误分析
1、基本概念
（1）微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程． （2）微分方程的阶 微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶． （3）微分方程的解 代入微分方程能使其成为恒等式的函数，称为微分方程的解．
（4）微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，那么这样的解称为微分方程的通解．通解有两种：一种称显式通解，一种称隐式通解．
（5）微分方程的特解 微分方程的解如果是完全确定的（即不含有任何参数），称为微分方程的特解．
微分方程的特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线．
（6）微分方程的初值问题 求满足一定条件的微分方程的特解，这个问题称为微分方程的初值问题，这个条件称为微分方程的初始条件．
（7）一阶差分 对任何数列
，称数列
为原数列的一阶差分．
（8）阶差分 阶差分的差分称为数列的阶差分，记为
．二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分． （9）差分方程 含有自变量，未知函数
或求知函数
的差分的方程称为差分方程．
（10）差分方程的阶 差分方程中所含未知函数差分的实际最高阶数或方程中未知函数的最大下标与最小下标的差数称为此差分方程的阶．
（11）差分方程的解 满足差分方程的函数，称为差分方程的解．
（12）差分方程的通解 若解中所含相互独立的任意常数个数与差分方程的阶数相同， 则这个解称为此差分方程的通解．
（13）差分方程的特解 确定了任意常数的解，称为此差分方程的特解．
（14）差分方程的初始条件 用来确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件．
2、主要定理
（1）对二阶常系数齐次线性微分方程
①
我们有
定理1 若意常数．
特别地，当
和是方程①的两个解，则也是方程①的解，其中是任
线性无关时，则是方程①的通解．
（2）对二阶常系数非齐次线性微分方程
②
我们有 定理2 若
是方程②的一个特解，
是方程②的通解，其中
定理3 设
和
分别是非齐次线性微分方程
和
是其对应的齐次方程①的通解，则
是任意常数．
的特解，则
是方程的特解．
3、微分方程和差分方程的类型及解法
（1）一阶微分方程及其解法 （i）可分离变量的微分方程 形如
的方程．
解法 分离变量（即把含有x的放在一边，把含有y的放在另一边），将方程变为
， 两边积分 ，得 ．
这是方程的隐式通解，若化简方便，则化简为 ．
（ii）齐次微分方程 形如 解法 作变量代换, 令
的方程．
，代入方程得
这是一个变量u关于变量x的可分离变量的方程，求出u的通解，再用 的通解．
（iii）一阶齐次线性微分方程 形如
的方程．
代入，即得原方程