第3章 矩阵及其运算
3.1 基本要求、重点难点
基本要求：
1．1．掌握矩阵的定义. 2．2．掌握矩阵的运算法则.
3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法.
5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵.
6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法.
重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等
变换及线性方程组的解.
难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法.
3.2
基本内容
3.2.1
3.2.1 重要定义
a(i?1,2,?m;j?1,2?n) 定义3.1 由m?n个数ij组成的m行n列的数表成为一个m行n列矩阵，记为
?a11a12??a?21a22??????am1am2?简记为A?(aij)m?na1n?a2n?????amn?
，或A
?(aij)Am?nAmn,,
注意行列式与矩阵的区别：
（1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表.
（2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相
同.
（3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素.
（4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等.
11（5） （5） 当|A|?0时，|A|有意义，而A无意义.
m?n的矩阵叫做n阶方阵或m阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在
运算中可看做一个数.
对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵，又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的n阶矩阵叫n阶单位矩阵，常记为En（或In），简记为E（或I），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为
0m?n，或简记为0.
行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵.
设有矩阵A=
(aij)m?n，则?A?(?aij)m?n称为A的负矩阵.
若A是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A的行列式，记为|A|或DetA.
T将矩阵A的行列式互换所得到的矩阵为A的转置矩阵，记为A或A?. TT若方阵A满足A?A，则称A为对称矩阵，若方阵A满足A??A，则称A
为反对称矩阵.
若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩阵为复矩阵，若A=
(aij)m?n是复矩阵，则称矩阵(aij)m?n（其中aij为
aij的共轭矩
阵，记为A?(aij)m?n.
定义3.2 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB?BA?E，则
?1称方阵A可逆，B称为A的逆矩阵，记做B?A.
对于方阵A
?(aij)m?n，设
aij的代数余子式为
Aij，则矩阵
?A11A21??AA22?12??????*A?A1nA2n?An1?An2?????Anm?
称为A的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置.
定义3.3 设有矩阵A，如果： （1）
（1） 在A中有一个r阶子式D不为零.
（2） （2）
A中
任意r?1阶子式（如果有的话）全为零，则称D是矩阵A的一个最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为R(A). 定义3.4 初等变换与初等方阵：
（1） （1） 初等变换：变换矩阵的某两行（记为以矩阵的某行的所有元素（记为（记为
rj?hrikrj,k?0ri?rj）；把非零数k乘
）；把矩阵的第i行的h倍加到第j行上
）.
以上为矩阵的三种类型的初等行变换，同样可以定义矩阵的初等列变换.
矩阵的初等行变换、初等列变换统称为矩阵的初等变换.
矩阵的初等行（列）变换皆可逆，且为同种类型的初等变换.例如：变换
1riri?rjkrjr?hrir?(?h)rik的逆是其自身，变换的逆变换为变换j的逆变换为j.
初等变换的性质：
若矩阵A经有限次初等行（列）变换为B，则A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价.
若矩阵A经有限次初等行（列）变换为B，则A的任意k个列（行）向量与B中对应的k个列（行）向量有相同的线形相关性.
（2） （2） 初等方阵：由单位矩阵经过一次初等变换而得的矩阵叫做初
等矩阵，初等矩阵也叫初等方阵.
初等方阵共分三种，它们是：E?i,j?，E?i?k??，E?j?k?,i?.它们与单位矩阵的关系是：
ri?rjci?cj??E?i,j?，或E????E?i,j?， E??kcikri????E???E[i(k)],?k?0? ikE???E ，或
ci?kcjri?krj??E?j?k?,i?，或E????E?j?k?,i? E??容易搞错的是第三组关系式，读者仔细些.
初等矩阵皆可逆，且E
?i,j??1=
E?i,j?，
E
?i?k???1??1????i?k???????=E?1，
E?j?k?,i?=E?j??k?,i?