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对数列求和问题的探讨
作者：梁爱侠
来源：《中学教学参考·理科版》2009年第12期
在高中数学教学中对于这道题是用数学归
纳法证明的,而用数学归纳法证明问题,必须已知问题的结果,若在结果未知的情况下,能否直接推导出这个结果呢?回答是肯定的,这里用组合数性质等有关知识来讨论这个问题. 定理 证明:因为
-所以得到
上式相加,得
又因为 推论 推论
由以上定理可解决自然数任意次幂的求和问题,由
即可得
现在求 设
的值.
｝为一数列,其通项为
-1)]+n,而1+3×22+4×32+…+n(n--1).
-
所以上式可写为
∵1+2+3+…+n=12n(n+1),所以
-1)+12n(n+1)=16n(n+1)?(2n+1).
接着求
的值.
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由于
-所以
6×124(n+1)n(
n-1)(n-2)+6×16(n+1)n(n- 类似地
也可用此法推出.
-n)]+n=6[16n(n-1)(n-2)]+6[12n(n-
随着次数的增高,推导过程会复杂些,但用这种方法可以解决自然数任何次幂和的问题.由此可得,用这种方法也一定可以计算以n为变量的多项式的求和问题. 【例1】 求通项为 解:因为 所以
-3n+8).
【例2】 求通项为 解 所以
-1)+12(n+1)-24]
--1).
--4的前n项和.
-32n-4=12n(n-1)+2n--4n=16(n+1)n(n--4,
--3n+4的前n项和.
-3n+4=2[12n(n-1)]-2n+4=
- -1)-
从而可以归纳如下:
在这类推导和计算过程中,只要熟记公式
并巧妙地运用
添项,凑出关于
的多项式,分项求和并化简就可以求出
的值,
这样就可以弥补归纳法的许多不足,使学生在推导过程中能够更加直观地解决数列求和问题,从而更加熟悉公式结构和原理,快速解决更多的数列求和问题. (责任编辑:金 铃)