【初中数学】浙江省宁波市2014年普通高中创新素养培养实验班招生考试数学试卷(解析版) 浙教版

宁波市2014年普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷

数学试题

一、选择题(共6题,每题4分,共24分)

1、从1,2,3,4,5这五个数字任取两个数字,使其乘积为偶数的概率为( ) 4731(A) (B)(C)(D) 51052

解: 总数=4+3+2+1=10,符合条件的为:231;233;234;235;431;433; 737435共7个(或只有133;135;335共3个例外),∴概率为或1-= 1010102、已知锐角△ABC角平分线AD与高线BE交于点M,△CDE是等边三角形,则

S△DEM∶S△ABM的值为( ) (A)2∶2 (B)1∶2(C)1∶3(D)1∶4

C

∵∠C=600,∠BEC=900,∴∠EBC=300,又∠CDE=600,∴∠BED=300,

∴ED=BD=CD,∴AD即是∠BAC的平分线,又是BC上的中线, E D

∴AB=AC,∴△ABC为正三角形,∴AD与BE的交点为△的重心 A B ∴S△DEM∶S△ABM=1∶4。

3、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在第二象限,点B在x轴负半轴上,△OABk

的面积是9,P是AB中点,若函数y=(x<0)的图像经过点A、P,则k的值为( )

x(A)-6 (B)-4(C)-3(D)-2

1

设点A坐标为(m,n),点B(a,0),∵S△OAB=9,∴-an=9,

2

m+an

∵P是AB的中点,∴点P坐标为(,),∵k=xy,∴代入A、P坐标得:

22(m+a)n(m+a)n

k=mn,k=,∴mn=,∴3mn=an,∵-an=18,∴mn=-6

44

∴k=-6

(本例考点为点与函数的关系、中点坐标的应用,中点坐标是解压轴题的重要工具)

※ 同类测试题:如在直角坐标系中,存在一个平行四边形,其中平行四边形的三个项点的坐标为(1,3),(2,2)和(3,4),求另一顶点的坐标?版权所有

4、对于任意的有理数a,方程2x2+(a+1)x-(3a2-4a+b)=0的根总是有理数,则b的值为( )

(A)1 (B)-1(C)2(D)0

解:方程的△=(a+1)2+8(3a2-4a+b)=(5a-3)2+8b-8≥0,∴当8b-8≥0时, 必定△≥0,即方程必有实根,∴b≥1,当b=1时,3a2-4a+1=(3a-1)(a-1), ∴十字因式分解得方程为((x-a+1)(2x+3a-1)=0,∴b=1成立,

当b=2时,3a2-4a+b=3a2-4a+2不能因式分解,∴方程有可能为无理数解, (在一元二次方程中,运用方程的判别式和因式分解是解决方程有理根和整数根 重要工具,)

※同类测试题:使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积的值。

5、如图,△ABC内接于⊙O,过BC的中点D作直线l∥AC,l与AB交于点E,与⊙O交于点

G、F,与⊙O在点A处的切线交于点P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长度为( ) (A)2 (B)5(C)6(D)7 P 解:∵BD=CD,DE∥AC,∴AE=BE,又PE=EF, G ∴四边形PBFA是平行四边形,∴PA=BF,PB∥AF,PF∥AC A E ∴∠BPF=∠FAC,又∠FBC=∠FAC,∴∠FBC=∠BPF, DFBF B D C ∴△BFD∽△PFB,∴=,∴BF2=DF2PF=6。 BFPF

∴PA=BF=6 。

(考点为中位线、平行四边形的判定,与圆有关的角的运用在解决圆问题中,具有相当重要的地位)

6、如图,已知锐角∠A=∠B,AA1、PP1、BB1均垂直于A1B1,垂足分别是A1、P1、B1,且AA1=17,AP+PB=13,BB1=20,A1B1=12,则PP1的长度为( )2-1-c-n-j-y (A)13 (B)14(C)15(D)16

B

A M P N

F E

B1A1P1

延长BP并AA1于E,过P作MN∥A1B1,∵AA1∥BB1,∠AEP=∠B=∠A,∴PA=PE ∴BE=PB+PA=PB+PE=13,EF=A1B1=12,∴BF=BE2-EF2=132-122=5,

∴B1F=BB1-BF=20-5=15,∴EA1=15,∴AE=2,∴ME=1,∴PP1=MA1=16 二、填空题(共6题,每题4分,共24分)

3

7、已知a是方程x2-3x+1=0的根,则2a2-5a-2+2的值为 。

a+11

∵a2-3a+1=0,∴a2+1=3a,a+=3

a

31

∴原式=2(a2-3a+1)+a-4+=a+-4=3-4=-1,

3aa

(本例代数的整式运算法,即以代数多项的值参与运算,而代数多项需根题型进行配制)

3+51110

※同类测试:已知x=,求x+x5+5+10的值。

2xx

111

8、“*”表示一种运算,规定x*y=-。若1*3=,则2013*2014= 。

xy(x+1)(y+A)12111

1*3=-=,解得A=-1,

1×3(1+1)(3+A)12 2013*2014=

11

-=0

201332014(2013+1)(2014-1)

F

9、如图,Rt△ABC的硬纸片,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,AD为BC边上的高,从这张硬纸片上剪下一个如图所示的内接正方形EFGH,则正方形EFGH的边长为 .

解:由勾股定理得AC=4,由面积公式得AB2AC=BC2AD,

A H

G

12HGAH∴AD=,设正方形的边长为x,∵HG∥BC,∴=,

5BCAB

HEBH

∵HE∥AD,∴=,

ADAD

F C B E D xxAH+BH60

两式相加得:+==1,解得x=。

512AB37

5

10、如图,在△ABC中,AB=AC,CM平分∠ACB,与AB交于点M,AD⊥BC于点D,ME⊥BC于点E,MF⊥MC与BC交于点F,若CF=10,则DE=

A 解:取CF的中点G,连接MG,设DE=x,EF=y, M

可得DC=CF-EF-DE=10-x-y,∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=DC=10-x-y,BE=BD-DE=10-2x-y??①

C ∵ FG=CG=5,∴EG=FG-EEF=5-y??②21教育网 B F E G D

∵MG是Rt△MFC斜边上的中线,∴∠FGM=2∠BCM=∠ACB

5

∠FGM=∠B,又ME⊥BG,∴BE=EG,∴由①、②得10-2x-y=5-y,∴x= 2

(本例题中信息量较多,容易使从误入歧途而不得解,但题中只有一个已知量即CF ED又在CF上,所以我们可设想在BC上存在某个隐性变量,只要消去此变量即可) 11、已知a,b是不为零的实数,对于任意实数x,y,都有

(a2+b2)(x2+y2)+8bx+8ay-k2+k+28≥0其中k是实数,则k的最大值为 . 解:不等式由两部分组,即(a2+b2)(x2+y2)+8bx+8ay与-k2+k+28, 前者决定后者,

(a2+b2)(x2+y2)+8bx+8ay=a2x2+a2y2+b2x2+b2y2+8bx+8ay+(2abxy-2abxy) =(ay+bx)2+(ax-by)2+8(ay+bx)=(ay+bx+4)2+(ax-by)2-16,

∴当-k2+k+28≥-16时,不等式恒成立,∴k2-k-12≤0,解得-3≤k≤4 ∴k的最大值为4,

(本例是代数求值中非负法的应用,即代数式表达成平方式,)

※同类测试题:实数x,y满足方程3(x2+2x+3)(3y2+2y+1)=4 求x ,y的值

12、一个平面把空间分为2个部分,两个平面最多把空间分成4个部分,三个平面最多把空间分为 个部分,四个平面最多把空间分成 个部分. 三、解答题(共4题,每题13分,共52分)

13、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与x轴有两个交点A(-1,0),B(n,0),交y轴于点C(0,p),已知p=-3a(n-2).2·1·c·n·j·y (1)求点B坐标;

(2)若抛物线上存在点M,使△ABM为直角三角形,求a的取值范围.

⑴ 解:∵x=-1,x=n是方程ax2+bx+c=0的两根,故令函数为:y=a(x+1)(x-n) 展开得y=ax2+(a-an)x-an,∴当x=0时,p=-an,又已知p=-3a(n-2) ∴-an=-3a(n-2),得n=3,∴点B坐标(3,0), ∴y=a(x2-2x-3) ⑵由⑴得AB=4,当∠AMB=900时,则AB是△AMB的外接圆的直径, ∴圆心N坐标为(1,0),设点M坐标(m,n),∴MN2=(m-1)2+n2=22=4?①, ∵点M是抛物线上的点,∴a(m2-2m-3)=n??②,由①得:m2-2m-4=-n2, 111

代入②得:-n22a=n,∴n=-,代入①得(m-1)2=4-2,∴4-2≥0,

aaa111

∴a2≥,得a≤-(∵a>0,故舍去),a≥。

422

(根与函数系式的关系、两点距离的的确应用,它们都是解压轴题的基础和工具)

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