八年级数学 分式章节知识点总结及典型例题解析

x?a??1的根是正数,求a的取值范围。 x?21x?2例9:若分式与的2倍互为相反数,则所列方程为___________________________;

x?2x?3mxx?1??例10:当m为何值时间?关于x的方程2的解为负数? x?1x?2x?x?2例8:已知关于x的方程例11:解关于x的方程

b?xa?2?x?ba(a?0)

例12:解关于x的方程:

x?1x?12a??2(a?0) 2a?ba?ba?b例13:当a为何值时,

x?1x?22x?a??的解是负数? x?2x?1(x?2)(x?1)?x?2y?3xx2?y22x?2例14:先化简,再求值:,其中x,y满足方程组 ???2?2x?yx?y(x?y)?x?y??2例15知关于x的方程

x?1xm??的解为负值,求m的取值范围。 x?2x?1(x?2)(x?1)练习题: (1)

141353x?2?2????0 (3) (2) 2x?4x?161?X1?Xx?1x(x?1)1?X(4)

xx?2115x?42x?51??2?? (6) (5) x?5x?6x?1x?12x?43x?6211?x121231?3???2??3 (7) (8) (9) x?22?xx?33?xx?92x?21?x13、分式方程的增根问题:

(1)增根应满足两个条件:一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

(2)分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。

xm+1=有增根,则m= x?3x?3k4?x?2?例2:当k的值等于 时,关于x的方程不会产生增根; x?3x?3例1:分式方程

2mx3?2?例3:若解关于x的分式方程x?2x?4x?2会产生增根,求m的值。

xm?2?会产生增根; x?3x?3xm2?2?例5:若关于x的分式方程无解,则m的值为__________。 x?3x?3xkx???0有增根. 例6:当k取什么值时?分式方程

x?1x?1x?1例4:m取 时,方程

x?1m?有增根,则m的值是( )A.4 B.3 C.-3 D.1 x?4x?43a4??例8:若方程有增根,则增根可能为( ) x?2xx(x?2)例7:若方程

A、0 B、2 C、0或2 D、1

14、分式的求值问题:

a1a?b?,分式的值为 ; b32a?5b11?例2:若ab=1,则的值为 。 a?1b?1112例3:已知a??3 ,那么a?2?_________ ;

aa例1:已知例4:已知

7272115x?xy?5y的值为( )A ? B C D ? ??3,则

2727xyx?xy?yxyy2例5:已知2x?3y,求2的值; ?222x?yx?yaa2?ab?b2例6:如果=2,则=

ba2?b2ab4x与的和等于2,则a= , b = 。 x?2x?2x?4111例8:若xy?x?y?0,则分式??( )A、 B、y?x C、1 D、-1

yxxyx?24x1(?2)?2例9:有一道题“先化简,再求值:,其中x??3。”小玲做题时把“x??3”x?2x?4x?4例7:已知

错抄成了“x?3”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事?

1a2?1

例10:有这样一道数学题:“己知:a=2005,求代数式a(1+)-的值”,王东在计算时错把“a=2005”

aa?1

抄成了“a=2050”,但他的计算结果仍然正确,请你说说这是怎么回事。

x2?2x?1x?1?2?x的值,其中x?2007”例11:有这样一道题:“计算:,某同学把x?2007错抄2x?1x?x成x?2008,但它的结果与正确答案相同,你说这是怎么回事?

1x2例题:已知x??3,求4的值。

xx?x2?1

15、分式的应用题:

(1)列方程应用题的步骤是什么? (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.

(2)应用题有几种类型;基本公式是什么?基本上有四种:

a.行程问题:基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题. b.数字问题: 在数字问题中要掌握十进制数的表示法. c.工程问题: 基本公式:工作量=工时×工效. d.顺水逆水问题: v

顺水

=v静水+v水. v逆水=v静水-v水.

工程问题:

例1:一项工程,甲需x小时完成,乙需y小时完成,则两人一起完成这项工程需要______ 小时。

例2:小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比小张少打6个字,小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟,则列方程正确的是( ) A

120180120180120180120180???? B C D x?6xx?6xxx?6xx?6例3:某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日 期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期 为x天,下面所列方程中错误的是( ) A.

2x231x1?x?2?1??1; B.???1 ; C.??; D.?2??1?xx?3xx?3xx?3xx?3x?3??111ab? (C) (D) aba?ba?b例4:一件工程甲单独做a小时完成,乙单独做b小时完成,甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数 是( ).(A)a?b (B)

例5:赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完,当他读了一半时,发现平时每天要多读21

页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的是( )

1401402802801010140140??14 B、??14 B、??1 D、??14 xx?21xx?21xx?21xx?21例6:某煤厂原计划x天生产120吨煤,由于采用新的技术,每天增加生产3吨,因此提前2天完成任务,

A、

列出方程为( ) A

120120120120120120120120??3 B ??3 C ??3 D ??3 x?2xxx?2x?2xxx?272?x1?;x3例7:某工地调来72人参加挖土和运土工作,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工?要解决此问题,可设派x人挖土.列方程①②72?x?xx?3. ;③x?3x?72;④

372?x例8:八(1)、八(2)两班同学参加绿化祖国植树活动,已知八(1)班每小时比八(2)班多种2棵树,

八(1)班种66棵树所用时间与八(2)班种60棵树所用时间相同,求:八(1)、八(2)两班每小时各种几棵树?

例9:某一一项工程预计在规定的日期内完成,如果甲独做刚好能完成,如果乙独做就要超过日期3天,现在甲、乙两人合做2天,剩下的工程由乙独做,刚刚好在规定的日期完成,问规定日期是几天?

例10:服装厂接到加工720件衣服的订单,预计每天做48件,正好可以按时完成,后因客户要求提前5天交货,则每天应比原计划多做多少件?

例11:为加快西部大开发的步伐,决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工,则刚好可以按期完成;如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工4个月,剩下的由乙队单独施工,则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间?

例12:某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共4350元;乙、丙两队合做10天完成,厂家需付乙、丙两队共4750元;甲、丙两队合做5天完成全部工程的

2,厂家需付甲、丙两队共2750元。 3(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?

(2)若工期要求不超过20天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由。

价格价钱问题: 例1:“五一”江北水城文化旅游节期间,几名同学包租一辆面包车前去旅游,面包车的租价为180元,出发时又增加了两名同学,结果每个同学比原来少摊了3元钱车费,设参加游览的同学共x人,则所列方程为 ( ) A.

180180180180180180180180??3 B.??3 C.??3 D.??3 xx?2x?2xxx?2x?2x例2:用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料,其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元,比乙种涂料每千克的售价多1元,求这种新涂料每千克的售价是多少元?若设这种新涂料每千克的售价为x元,?则根据题意可列方程为________.

例3:某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙同种工种各招聘多少人时,可使得每月所付的工资最少?

例4:为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元,第二次捐款总额为5000元,第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人,而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款?

例5:随着IT技术的普及,越来越多的学校开设了微机课.某初中计划拿出72万元购买电脑,由于团体购买,结果每台电脑的价格比计划降低了500元,因此实际支出了64万元.学校共买了多少台电脑?若每台电脑每天最多可使用4节课,这些电脑每天最多可供多少学生上微机课?(该校上微机课时规定为单人单机)

例6:光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动,联系了甲、乙两家旅游公司,甲公司提供的优惠条件是:1名教师收行业统一规定的全票,其余的人按7.5折收费,乙公司则是:所有人全部按8折收费.经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜

1,那么参加活动的学生人数是多少人? 32

例7:北京奥运“祥云”火炬2008年5月7日在羊城传递,熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、 进步的“和平之旅”,广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫,面市后供不应求, 商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进数量的2倍,但单价贵了4元,商厦销 售这种运动休闲衫时每件定价都是58元,最后剩下的150件按八折销售,很快售完,请问在这两笔生意 中,商厦共赢利多少元?

顺水逆水问题:

例1:A、B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地,又立即从B地逆流返回A地,共用去9 小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程( ) A、

48484848489696??9 B、??9 C、?4?9 D、??9 x?4x?44?x4?xxx?4x?4例2:一只船顺流航行90km与逆流航行60km所用的时间相等,若水流速度是2km/h,求船在静水中的速

度,设船在静水中速度为xkm/h,则可列方程( )

9060906090606090A、x?2=x?2 B、x?2=x?2 C、x+3=x D、x+3=x

例3:轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同,已知水流速度是每小时3千米,求轮船在静水中的速度。

行程问题:

例1:在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米,下坡时的速度为每小时V2千米,则他在这 段路上、下坡的平均速度是每小时( ) A、

v1?v2vv2v1v2千米 B、12千米 C、千米 D、无法确定 2v1?v2v1?v2例2:甲、乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a小时相遇;若同向而行,则b小时甲追上乙.那

么甲的速度是乙的速度的( ) A.

a?b倍 b B.

b倍 a?b C.

b?a倍 b?a D.

b?a倍 b?a

例3:八年级A、B两班学生去距学校4.5千米的石湖公园游玩,A班学生步行出发半小时后,B班学生骑自行车开始出发,结果两班学生同时到达石湖公园,如果骑自行车的速度是步行速度的3倍,求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时?

例4:A、B两地的距离是80公里,一辆公共汽车从A地驶出3小时后,一辆小汽车也从A地出发,它的速度是公共汽车的3倍,已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地,求两车的速度。

例5:甲、乙两火车站相距1280千米,采用“和谐”号动车组提速后,列车行驶速度是原来速度的3.2倍,从甲站到乙站的时间缩短了11小时,求列车提速后的速度。

数字问题:

例1:一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于

1,求这个分数. 4

例2:一个两位数,个位数字是2,如果把十位数字与个位数字对调,所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7:4,求原来的两位数。

例3:一个分数的分母加上5,分子加上4,其结果仍是原来的分数,求这个分数。

例4:一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小2,个位上的数字加上8以后去除这个两位数时, 所得到的商是2,求这个两位数。

16、公式变形问题:

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