1222
则有m+(-m+6)=10,
212±489
解得m=,
5
12+48912-489
∴点Q 的横坐标为或,设点M的横坐标为a,
5512+48912-489+6+655a+0a+0
则有=或=,
222242+48942-489∴a=或.
55又∵点P从点(-10,0)开始运动,
92+48992-489
∴满足条件的t的值为或.
55
如图4中,当点Q与C重合时,M点的横坐标为6,此时t=16,
图4
92+48992-89
综上所述,满足条件的t的值为0或16或或.
55类型四
【例4】 (1)(4,0)
(2)当点Q在原点O时,AQ=6, 1
∴AP=AQ=3,∴t=3÷3=1.
2①当0<t≤1时,如图1,令x=0,
图1
∴y=4,∴B(0,4),∴OB=4. ∵A(6,0),∴OA=6,
OBPD2
在Rt△AOB中,tan∠OAB===,
OA3t3由运动知AP=3t,∴P(6-3t,0), ∴Q(6-6t,0),∴PQ=AP=3t. ∵四边形PQMN是正方形, ∴MN∥OA,PN=PQ=3t,
PDPD2
在Rt△APD中,tan∠OAB===,
AP3t3∴PD=2t,∴DN=t. ∵MN∥OA,∴∠DCN=∠OAB, DNt2
∴tan∠DCN===,
CNCN33∴CN=t,
2
133322
∴S=S正方形PQMN-S△CDN=(3t)-t×t=t.
224
43
②当1<t≤时,如图2,同①的方法得DN=t,CN=t,
32
图2
13392
∴S=S矩形OENP-S△CDN=3t×(6-3t)-t×t=-t+18t.
224
412
③当<t≤2时,如图3,S=S梯形OBDP=(2t+4)(6-3t)=-3t+12.
32
图3
(3)如图4,由运动知P(6-3t,0),Q(6-6t,0),
图4
∴M(6-6t,3t).
∵T是正方形PQMN的对角线交点, 93
∴T(6-t,t),
22
1
∴点T是直线y=-x+2上的一段线段,(-3≤x<6).
3同理,点N是直线AG:y=-x+6上的一段线段,(0≤x≤6), ∴G(0,6),∴OG=6. ∵A(6,0),∴AB=62.
∵T是正方形PQMN的对角线的交点, ∴TN=TP,∴OT+TP=OT+TN,
∴点O,T,N在同一条直线上,且ON⊥AG时,OT+TN最小,即OT+TN最小. 11
∵S△OAG=OA·OG=AG·ON,
22OA·OG
∴ON==32,
AG即OT+PT的最小值为32. 变式训练
4.解:(1)如图,连结BP.
在Rt△ACB中,∵AC=BC=4,∠C=90°,∴AB=42. ∵点B在线段PQ的垂直平分线上, ∴BP=BQ.
∵AQ=2t,CP=t,∴BQ=42-2t,PB=4+t, ∴(42-2t)=16+t,解得t=8-43或8+43(舍去),
2
2
2
2
2
∴t=(8-43)s时,点B在线段PQ的垂直平分线上.
(2)①如图,当PQ=QA时,易知△APQ是等腰直角三角形,∠AQP=90°,
4
则有PA=2AQ,∴4-t=2·2t,解得t=.
3
②如图,当AP=PQ时,易知△APQ是等腰直角三角形,∠APQ=90°,
则有AQ=2AP,∴2t=2(4-t),解得t=2.
4
综上所述,t= s或2 s时,△APQ是以PQ为腰的等腰三角形.
3
(3)如图,连结QC,作QE⊥AC于E,作QF⊥BC于F.则QE=AE,QF=EC,可得QE+QF=AE+EC=AC=4,
111
∴S=S△QNC+S△PCQ=CN·QF+PC·QE=t(QE+QF)=2t(0<t<4). 222