将A、B坐标代入椭圆方程得，两式相减得
，
即同理，
而kAB=kCD，所以所以①+②得
①…
，
，
②
，
即kAB≠0，所以为定值．…
点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．
21．已知函数g（x）是实数2a与
的等差中项，函数f（x）=ln（1+x）﹣g（x）
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（2）当a＞0时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性； （3）证明不等式++…+
＜ln
对任意n∈N成立．
*
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 分析：（1）运用等差数列的性质，求出g（x），对f（x）求导，a=0时f（0）=0，切线斜率k=k=f′（0）=1，由点斜式可得切线方程；
2
（2）只需考察g（x）=x+（4﹣2a）x+（4﹣2a）的符号．按△≤0，△＞0两种情况进行讨论，由导数的符号可求函数的单调区间；
（3）由（2）知，当a=2时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，从而有f（x）=ln（1+x）
﹣＞f（0）=0，则＜ln（1+x）对任意x∈（0，+∞）成立．取x=，k=1，2，3，…，
n，可推＜ln（1+k）﹣lnk，k=1，2，3，…，n．n个不等式相加可得结论．
的等差中项， ，
解答： 解：由于函数g（x）是实数2a与则g（x）=a﹣
=
，f（x）=ln（1+x）﹣
f′（x）=﹣=．
（1）当a=0时，f（0）=0，切线的斜率k=f′（0）=1， 则切线方程为y=x，即x﹣y=0；
2
（2）当a＞0时，因为x＞0，所以只要考查g（x）=x+（4﹣2a）x+（4﹣2a）的符号．
2
由△=（4﹣2a）﹣4（4﹣2a）≤0，得0＜a≤2，
则当0＜a≤2时，g（x）＞0恒成立，从而f′（x）＞0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增； 当a＞2时，由g（x）=0解得x=a﹣2+当x∈（0，a﹣2+当x∈当x变化时，（a﹣2+函数f（x）在区间（0，a﹣2+
）时，f′（x）＜0，
，+∞）时，f′（x）＞0， ）单调递减，在区间（a﹣2+
，+∞）上单
．
调递增．
（3）由（Ⅱ）知，当a=2时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增； 所以f（x）=ln（1+x）﹣
＞f（0）=0，即
＜ln（1+x）对任意x∈（0，+∞）成立．
取x=，k=1，2，3，…，n，
得＜ln（1+），即＜ln（k+1）﹣lnk，k=1，2，3，…，n．
将上述n个不等式求和，得到：＜[ln（k+1）﹣lnk]，
即++…+＜（ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+ln（n+1）﹣lnn）=ln（n+1）．
＜ln
对任意n∈N成立．
*
故不等式++…+
点评：本小题主要考查函数、导数的综合运用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想．
四、选修4-1：几何证明选讲
22．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．
2
（1）求证：AB=DE?BC；
（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．
考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明． 专题：计算题；证明题．
2
分析：对于（1）求证：AB=DE?BC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．
对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC=PD?PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案． 解答： 解：（1）∵AD∥BC ∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，
又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC， ∴△CDE∽△BCD，∴
2
2
2
，
∴CD=DE?BC，即AB=DE?BC． （2）由（1）知，∵△PDE∽△PBC， ∴
．
，
又∵PB﹣PD=9， ∴
．
∴．
∴．
点评：此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题，其中应用到弦切公式，题目属于平面几何的问题，涵盖的知识点比较多，有一定的技巧性，属于中档题目．
五、选修4-4：坐标系与参数方程 23．己知圆C1的参数方程为
（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴
cos（θ﹣
）．
为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2
（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程．
分析：（I）利用sinφ+cosφ=1即可把圆C1的参数方程
2
2
2
2
22
，化为直角坐标方程．
（II）由x+y=1，x+y=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．利用点到直线的距离公式可得圆心（0，0）到此直线的距离d，即可得出弦长|AB|=2解答： 解：（I）由圆C1的参数方程消去参数φ可得：x+y=1． 由圆C2的极坐标方程ρ=2
2
2
2
2
．
，
cos（θ﹣
2
2
），化为?ρ，
∴x+y=2x+2y．即（x﹣1）+（y﹣1）=2．
2222
（II）由x+y=1，x+y=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1． 圆心（0，0）到此直线的距离d=
=
．
∴弦长|AB|=2=．
点评：本题考查了曲线的参数方程极坐标方程化为直角坐标方程、两圆的相交弦长、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
六、选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x+2|﹣a）． （1）当a=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求a的取值范围．
考点：函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；指、对数不等式的解法． 专题：综合题；推理和证明．
分析：（1）分类讨论，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：或
或，可得函数f（x）的定义域；
（2）不等式f（x）≥3，|x﹣1|+|x+2|≥a+8的解集为R，求出|x﹣1|+|x+2|的最小值，即可求a的取值范围． 解答： 解：（1）由已知得|x﹣1|+|x+2|＞7， 不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
或
或
，
解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣4）∪（3，+∞）．
（2）不等式f（x）≥3，|x﹣1|+|x+2|≥a+8的解集为R
∵|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3， ∴a+8≤3， 即a≤﹣5．
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]．
点评：本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．