考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？
如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾． 例2。 思路点拨
1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来．点E的纵坐标为定值是算出来的．
12．在计算的过程中，第（1）题的结论a?2及其变形am2?1反复用到．
m3．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G． 满分解答
1（1）将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此a?2．
m2222
（2）由y＝a(x－2mx－3m)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)－4axm＝a(x－m)2－4， 得A(－m, 0)，B(3m, 0)，F(m, －4)，对称轴为直线x＝m．
所以点D的坐标为(2m,－3)．设点E的坐标为(x, a(x＋m)(x－3m))． 如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．
EE'DD'a(x?m)(x?3m)3由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此． ??AE'AD'x?m3m1所以am(x－3m)＝1．结合a?2，于是得到x＝4m．
m当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以点E的坐标为(4m, 5)．
ADDD'3所以??．
AEEE'5图2 图3
（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,－3)、F(m,－4)， 可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．
那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．
GFFF'4证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么??．
ADDD'3AEADGF因此．所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形． ??534
此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为(－3m, 0)． 考点伸展
第（3）题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边．此时AEADGF．因此GF?34m．所以GO?(34?1)m．此时G(m?34m,0)． ??5334练习1、思路点拨
1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．
2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．
3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形． 满分解答
1231x?x?4?(x?2)(x?8)，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)． 4241（2）直线DB的解析式为y??x?4．
2113由点P的坐标为(m, 0)，可得M(m,?m?4)，Q(m,m2?m?4)．
2421131所以MQ＝(?m?4)?(m2?m?4)??m2?m?8．
2424（1）由y?当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形． 解方程?m2?m?8?8，得m＝4，或m＝0（舍去）． 此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．
所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分． 所以四边形CQBM是平行四边形．
14图2 图3
（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．
考点伸展：第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为(x,(x?2)(x?8))．
141?(x?2)(x?8)QGBH11①如图3，当∠DBQ＝90°时， ??．所以4?．
GBHD28?x2解得x＝6．此时Q(6,－4)．
14?(x?2)(x?8)QGDH4②如图4，当∠BDQ＝90°时， ??2．所以?2． GDHB?x解得x＝－2．此时Q(－2,0)．
图3 图4
练习2、思路点拨
1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．
2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．
3．灵活应用相似比解题比较简便． 满分解答
333（1）由y??x2?x?3??(x?4)(x?2)，
848得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．
（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．
过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．
DGCO3由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以??．
BGAO4399所以DG?BG?，点D的坐标为(1,?)．
444因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．
2727而D′H＝DH，所以D′G＝3DG?．所以D′的坐标为(1,)．
44图2 图3
（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点
M．
以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．联结GM，那么GM⊥l．
在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．
MA3在Rt△EM1A中，AE＝8，tan?M1EA?1?，所以M1A＝6．
AE43所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为y??x?3．
43根据对称性，直线l还可以是y?x?3．
4考点伸展
第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式． 在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4． 在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．
因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C． 3．解：（1）45．
理由如下：令x=0，则y=-m，C点坐标为（0，-m）． 令y=0，则x2??1?m?x?m?0，解得x1??1，x2?m．
∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为（m，0）．∴OB=OC=m． ∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°．
（2）解法一：如图①，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，
?1?m?1?m由题意得，抛物线的对称轴为x?． 设点P坐标为（，n）．
22222222
∵PA= PC， ∴PA= PC，即AE+ PE=CD+ PD．
221?m?1?m?1?m?2???1?m1?m?． 2∴?．∴P点的坐标为??1??n??n?m???,?． 解得n???22??2??2??2?1?m解法二：连接PB．由题意得，抛物线的对称轴为x?．
2∵P在对称轴l上，∴PA=PB．∵PA=PC，∴PB=PC．
∵△BOC是等腰直角三角形，且OB=OC，∴P在BC的垂直平分线y??x上． ∴P点即为对称轴x??1?m??1?m1?m?,与直线y??x的交点．∴P点的坐标为??． 222??lPyDEOC图①图②BxAPElyQDOCBxAQ（3）解法一：存在点Q满足题意．
∵P点的坐标为?2??1?m1?m?222222
,?，∴PA+ PC=AE+ PE+CD+ PD2??2222??1?m??1?m??1?m??1?m?2=??1?????m???????1?m． ?2??2??2??2?2∵AC2=1?m，∴PA2+ PC2=AC2．∴∠APC＝90°． ∴△PAC是等腰直角三角形．
∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形． ∴由题意知满足条件的点Q的坐标为（-m，0）或（0，m）． ①如图①，当Q点的坐标为（-m，0）时，
?1?m11若PQ与x轴垂直，则??m，解得m?，PQ=．
233若PQ与x轴不垂直，
51?1?m???1?m??m??m2?2m??则PQ?PE?EQ?????22?2??2?222225?2?1． ?m???2?5?1021021时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值．
1051010221∵＜，∴当m?，即Q点的坐标为（?，0）时， PQ的长度最小．
10553②如图②，当Q点的坐标为（0，m）时，
1?m11若PQ与y轴垂直，则?m，解得m?，PQ=．
233若PQ与y轴不垂直，
∵0＜m＜1，∴当m?1?m?521?1?m???m??m?2m??则PQ?PD?DQ?????2?22?2??222225?2?1m??． ??2?5?1021021时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值．
1051010221∵＜，∴当m?，即Q点的坐标为（0，）时， PQ的长度最小．
1055322综上：当Q点坐标为（?，0）或（0，）时，PQ的长度最小．
55解法二： 如图①，由（2）知P为△ABC的外接圆的圆心．
∵0＜m＜1，∴当m?∵∠APC 与∠ABC对应同一条弧AC，且∠ABC＝45°，∴∠APC＝2∠ABC＝90°． 下面解题步骤同解法一．
4．解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），
2
把B（0，3）代入y=ax﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1， ∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；
22
（2）令y=0代入y=﹣x+2x+3，∴0=﹣x+2x+3，∴x=﹣1或3， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3， 过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，
2
由题意知：M的坐标为（m，﹣m+2m+3），
2
∴D的纵坐标为：﹣m+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，